題型1:線性相關性檢驗 例1．一個工廠在某年里每月產品的總成本y與該月產量x之間由如下一組數據: x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 1)畫出散點圖,2)檢驗相關系數r的顯著性水平,3)求月總成本y與月產量x之間的回歸直線方程. 解析: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xi 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 yi 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 xiyi 2.43 2.264 2.856 3.264 3.590 4.07 4.643 5.090 5.652 6.096 6.653 7.245 =.==2.8475.=29.808.=99.2081.=54.243 1)畫出散點圖: 2) r= = 在“相關系數檢驗的臨界值表 查出與顯著性水平0.05及自由度12-2=10相應的相關數臨界值r0.05=0.576<0.997891, 這說明每月產品的總成本y與該月產量x之間存在線性相關關系 3)設回歸直線方程. 利用 . 計算a.b.得b≈1.215, a=≈0.974. ∴回歸直線方程為: 例2某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數多少之間的關系.他們分別到氣象局與某醫院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數.得到如下資料: 該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數據中選取2組.用剩下的4組數據求線性回歸方程.再用被選取的2組數據進行檢驗 (Ⅰ)求選取的2組數據恰好是相鄰兩個月的概率, 若選取的是1月與6月的兩組數據.請根據2至5月份的數據.求出y關于x的線 性回歸方程, (Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2人.則認 為得到的線性回歸方程是理想的.試問該小組所得線性回歸方程是否理想? 解 (1)設抽到相鄰兩個月的數據為事件A因為從6組數據中選取2組數據共有中情況.每種情況都是等可能出現的其中.抽到相鄰兩個月的數據的情況有5種 所以 (Ⅱ)由數據求得 由公式求得 再由 所以y關于x的線性回歸方程為 (Ⅲ)當時. 同樣.當時. 所以.該小組所得線性回歸方程是理想的 題型2:獨立性檢驗 例3．為了探究患慢性氣管炎是否與吸煙有關.調查了339名50歲以上的人.調查結果如下表所示: 患慢性氣管炎 未患慢性氣管炎 合計 吸煙 43 162 205 不吸煙 13 121 134 合計 56 283 339 試問:50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習慣有關嗎? 解析:由公式.因為7.469>6.635,所以我們有99%的把握說:50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習慣有關. 例4．某企業有兩個分廠生產某種零件.按規定內徑尺寸的值落在的零件為優質品.從兩個分廠生產的零件中個抽出500件.量其內徑尺寸.的結果如下表: 甲廠 試分別估計兩個分廠生產的零件的優質品率, (1)由于以上統計數據填下面列聯表.并問是否有99%的把握認為“兩個分廠生產的零件的質量有差異 . 甲 廠 乙 廠 合計 優質品 非優質品 合計 附: 解 (1)甲廠抽查的產品中有360件優質品.從而甲廠生產的零件的優質品率估計為 , 乙廠抽查的產品中有320件優質品.從而乙廠生產的零件的優質品率估計為 (2) 甲廠 乙廠 合計 優質品 360 320 680 非優質品 140 180 320 合計 500 500 1000 所以有99%的把握認為“兩個分廠生產的零件的質量有差異 . 題型3:獨立的概念及應用 例5．有三種產品,合格率分別是0.90,0.95和0.95.各抽取一件進行檢驗 (1)求恰有一件不合格的概率, (2)求至少有兩件不合格的概率, 解析:設三種產品各抽取一件.抽到合格產品的事件分別為A.B和C. =0.95.則P()=0.10,P()=P()=0.05. 因為事件A.B.C相互獨立.恰有一件不合格的概率為: P(A·B·)+P(A··C)+P(·B·C) =P·P()+P(A)·P()·P(C)+P()·P =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95≈0.176 答:恰有一件不合格的概率為0.176. (2)解法一:至少有兩件不合格的概率為: P(A··)+P(·B·)+P(··C)+P(··) =0.90×0.05×0.05+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.05×0.05≈0.012. 答:至少有兩件不合格的概率為0.012. 解法二:三件產品都合格的概率為: P·P(C)=0.90×0.95×0.95≈0.812. 由(1)知.恰有一件不合格的概率為0.176.所以.至少有兩件不合格的概率為1-[P+0.176]=1-=0.012. 答:至少有兩件不合格的概率為0.012. 點評:本題主要考查互斥事件有一個發生的概率和相互獨立事件概率的計算及運用數學知識解決問題的能力 例6．某工廠對一批產品進行了抽樣檢測.右圖是根據抽樣檢測后的 產品凈重數據繪制的頻率分布直方圖.其中產品 凈重的范圍是[96.106].樣本數據分組為[96.98).[98.100), [100.102).[102.104),[104.106],已知樣本中產品凈重小于 100克的個數是36.則樣本中凈重大于或等于98克并且 小于104克的產品的個數是 . A.90 B.75 C. 60 D.45 答案 A 解析 產品凈重小于100克的概率為×2=0.300, 已知樣本中產品凈重小于100克的個數是36,設樣本容量為, 則,所以,凈重大于或等于98克并且小于 104克的產品的概率為×2=0.75,所以樣本 中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數是 120×0.75=90.故選A. [命題立意]:本題考查了統計與概率的知識,讀懂頻率分布直方圖,會計算概率以及樣本中有關的數據. 題型4:隨機變量的分布列 例7．某車間甲組有10名工人.其中有4名女工人,乙組有5名工人.其中有3名女工人.現采用分層抽樣方法(層內采用不放回簡單隨機抽樣)從甲.乙兩組中共抽取3名工人進行技術考核 (1)求從甲.乙兩組各抽取的人數, (I2)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率, (3)記表示抽取的3名工人中男工人數.求的分布列及數學期望. 分析 (1)這一問較簡單.關鍵是把握題意.理解分層抽樣的原理即可.另外要注意 此分層抽樣與性別無關. (2)在第一問的基礎上.這一問處理起來也并不困難. 從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率 (3)的可能取值為0.1.2.3 .. . 分布列及期望略. 評析:本題較常規.比08年的概率統計題要容易.在計算時.采用分類的方 法.用直接法也可.但較繁瑣.考生應增強靈活變通的能力. 例8．設自動生產線在調整后出現廢品的概率為0.1.而且一旦出現廢品就要重新調整.求在兩次調整之間所生產的合格品的數目不小于5的概率. 分析:如果用隨機變量η表示兩次調整之間生產的產品的個數.而且我們知道一旦出現廢品就重新調整生產線.所以兩次調整之間所生產的合格品是連續出現的.那么隨機變量η的取值就服從幾何分布.我們在解題時應先求出η的分布列.然后再計算事件“合格品數不小于5 即{η>5}的概率. 解析:設隨機變量η表示兩次調整之間生產線所生產的產品的個數.則η服從幾何分布.事件{η＝k}就表示生產了k-1件合格品.且第k件產品是廢品.容易求得: P＝0.1. P×0.1＝0.09. 寫成分布列的形式為: 1 2 3 4 5 6 - P 0.1 0.09 0.81 0.0729 0.06561 0.059049 - 題目中要求計算“所生產的合格品數不小于5 的概率.即P.因為事件{η>5}所包含的基本事件為{η＝6}.{η＝7}.-.{η＝n}.-.所以有 P+P+- 我們應用分布列的性質計算上式的值．因為P.所以 P＝1-［P+P+P］ ＝1-(0.1+0.09+0.081+0.0729+0.06561)＝0.49049. 所以事件“兩次調整之間所生產的合格品數不小于5 的概率為0.49049 點評:這是一道綜合例題.包括了分列的計算及分布列的應用兩個步驟.該題對于我們鞏固所學知識.深入了解分布列有很大幫助 題型5:隨機變量的均值 例9． 一個總體分為A.B兩層.用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為 10的樣本.已知B層中每個個體被抽到的概率都為.則總體中的個體數為 . 答案 120 解析 設總體中的個體數為.則 設矩形的長為.寬為.其比滿足∶＝.這種矩形給人以美感.稱為黃金矩形.黃金矩形常應用于工藝品設計中.下面是某工藝品廠隨機抽取兩個批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本: 甲批次:0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次:0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 根據上述兩個樣本來估計兩個批次的總體平均數.與標準值0.618比較.正確結論是 A.甲批次的總體平均數與標準值更接近 B.乙批次的總體平均數與標準值更接近 C.兩個批次總體平均數與標準值接近程度相同 D.兩個批次總體平均數與標準值接近程度不能確定 答案 A 解析 甲批次的平均數為0.617.乙批次的平均數為0.613 例10．設離散型隨機變量可能取的值為1.2.3.4.(1.2.3.4).又的數學期望.則 ; 解析:設離散性隨機變量可能取的值為.所以.即. 又的數學期望.則.即.,∴ . 點評:均值計算時要根據公式進行簡化計算.從而達到簡化運算的目的 題型6:隨機變量的方差 例11．甲.乙兩名工人加工同一種零件.兩人每天加工的零件數相等.所得次品數分別為ε.η.ε和η的分布列如下: ε 0 1 2 η 0 1 2 P P 試對這兩名工人的技術水平進行比較. 分析:一是要比較兩名工人在加工零件數相等的條件下出次品數的平均值.即期望,二是要看出次品數的波動情況.即方差值的大小 解析:工人甲生產出次品數ε的期望和方差分別為: . , 工人乙生產出次品數η的期望和方差分別為: . , 由Eε=Eη知.兩人出次品的平均數相同.技術水平相當.但Dε>Dη.可見乙的技術比較穩定. 點評:期望僅體現了隨機變量取值的平均大小.但有時僅知道均值的大小還不夠.如果兩個隨機變量的均值相等.還要看隨機變量的取值如何在均值周圍變化.即計算方差.方差大說明隨機變量取值較分散.方差小說明取值分散性小或者取值比較集中.穩定. 題型7:正態分布 例12．2009全國卷Ⅱ文)某車間甲組有10名工人.其中有4名女工人, 乙組有10名工人.其中有6名女工人.現采用分層抽樣(層內采用不放回簡單隨即抽樣)從甲.乙兩組中共抽取4名工人進行技術考核 (1)求從甲.乙兩組各抽取的人數, (2)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率, (3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率. 解析 本題考查概率統計知識.要求有正確理解分層抽樣的方法及利用分類原理處理事件概率的能力.第一問直接利用分層統計原理即可得人數.第二問注意要用組合公式得出概率.第三問關鍵是理解清楚題意以及恰有2名男工人的具體含義.從而正確分類求概率. 解 (1)由于甲.乙兩組各有10名工人.根據分層抽樣原理.要從甲.乙兩組中共抽 取4名工人進行技術考核.則從每組各抽取2名工人. (2)記表示事件:從甲組抽取的工人中恰有1名女工人.則 (3)表示事件:從甲組抽取的2名工人中恰有名男工人. 表示事件:從乙組抽取的2名工人中恰有名男工人. 表示事件:抽取的4名工人中恰有2名男工人. 與獨立. .且 故 【
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