如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

 

【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設平面PCD的法向量，

則,即.不防設，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設點E的坐標為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設交點為F，連接BE，EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

設函數f（x）=lnx，g（x）=ax+，函數f（x）的圖像與x軸的交點也在函數g（x）的圖像上，且在此點處f（x）與g（x）有公切線.[來源:學�？�。網]

（Ⅰ）求a、b的值； 

（Ⅱ）設x>0，試比較f（x）與g（x）的大小.[來源:學,科,網Z,X,X,K]

【解析】第一問解：因為f（x）=lnx，g（x）=ax+

則其導數為

由題意得，

第二問，由（I）可知，令。

∵，  …………8分

∴是（0，+∞）上的減函數，而F（1）=0，            …………9分

∴當時，，有；當時，，有；當x=1時，，有

解：因為f（x）=lnx，g（x）=ax+

則其導數為

由題意得，

（11）由（I）可知，令。

∵，  …………8分

∴是（0，+∞）上的減函數，而F（1）=0，            …………9分

∴當時，，有；當時，，有；當x=1時，，有

 

在△ABC中，內角A、B、C所對邊的邊長分別是a、b、c，已知c=2，C=.

(Ⅰ)若△ABC的面積等于，求a、b;

(Ⅱ)若,求△ABC的面積.

【解析】第一問中利用余弦定理及已知條件得又因為△ABC的面積等于，所以，得聯立方程，解方程組得.

第二問中。由于即為即.

當時， , ,   ,  所以當時，得，由正弦定理得，聯立方程組，解得,得到。

解：（Ⅰ） （Ⅰ）由余弦定理及已知條件得，………1分

又因為△ABC的面積等于，所以，得，………1分

聯立方程，解方程組得.                 ……………2分

（Ⅱ）由題意得，

即.             …………2分

當時， , ,   ,          ……1分

所以        ………………1分

當時，得，由正弦定理得，聯立方程組

，解得,;   所以

 

已知函數 R)．

（Ⅰ）若 ，求曲線  在點  處的的切線方程；

（Ⅱ）若  對任意  恒成立，求實數a的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。

第一問中，利用當時，．

因為切點為（）， 則，                 

所以在點（）處的曲線的切線方程為：

第二問中，由題意得，即即可。

Ⅰ）當時，．

，                                  

因為切點為（）， 則，                  

所以在點（）處的曲線的切線方程為：．    ……5分

（Ⅱ）解法一：由題意得，即．      ……9分

（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）

，           

因為，所以恒成立，

故在上單調遞增，                            ……12分

要使恒成立，則，解得．……15分

解法二：                 ……7分

      （1）當時，在上恒成立，

故在上單調遞增，

即．                  ……10分

（2）當時，令，對稱軸，

則在上單調遞增，又    

① 當，即時，在上恒成立，

所以在單調遞增，

即，不合題意，舍去  

②當時，， 不合題意，舍去 14分

綜上所述： 

 

已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經過點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存過點（2,1）的直線與橢圓相交于不同的兩點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

【解析】第一問利用設橢圓的方程為，由題意得

解得

第二問若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設兩點的坐標分別為，

所以

所以．解得。

解：⑴設橢圓的方程為，由題意得

解得，故橢圓的方程為．……………………4分

⑵若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設兩點的坐標分別為，

所以

所以．

又，

因為，即，

所以．

即．

所以，解得．

因為A,B為不同的兩點，所以k=1/2．

于是存在直線L₁滿足條件，其方程為y=1/2x