已知函數.

（Ⅰ）當時，求的單調遞增區間；

（Ⅱ）求證：曲線總有斜率為的切線；

（Ⅲ）若存在，使成立，求的取值范圍.

已知函數f(x)=

ax

x2+b

在x=1處取得極值2．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）當m滿足什么條件時，函數f（x）在區間（m，2m+1）上單調遞增？
（3）若P（x₀，y₀）為f(x)=

ax

x2+b

圖象上任意一點，直線l與f(x)=

ax

x2+b

的圖象切于點P，求直線l的斜率k的取值范圍．

已知函數f(x)=

1

3

x3-(a+1)x2+4ax，（（a∈R））．
（Ⅰ）若函數y=f（x）在區間（-∞，0）上單調遞增，在區間（0，1）上單調遞減，求實數a的值；
（Ⅱ）若常數a＜1，求函數f（x）在區間[0，2]上的最大值；
（Ⅲ）已知a=0，求證：對任意的m、n，當m＜n≤1時，總存在實數t∈（m，n），使不等式f（m）+f（n）＜2f（t）成立．

已知函數f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）要使f（x）在區間（0，1）上單調遞增，試求a的取值范圍；
（2）若x∈[0，1]時，f（x）圖象上任意一點處的切線的傾斜角為θ，試求當θ∈[0，

π

4

]時，a的取值范圍．