已知橢圓C₁的方程是

x2

4

+y2=1，雙曲線C₂的左、右焦點分別為C₁的左、右頂點，C₂的左、右頂點分別為C₁的左、右焦點．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）若直線l：y=kx+

2

與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A，B，且

OA

•

OB

＞2（O為原點），求k的取值范圍；
（3）設P₁，P₂分別是C₂的兩條漸近線上的點，點M在C₂上，且

OM

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，求△P₁OP₂的面積．

（本題滿分12分） 設橢圓 C₁：（）的一個頂點與拋物線 C₂： 的焦點重合，F₁，F₂ 分別是橢圓的左、右焦點，離心率 ，過橢圓右焦點 F₂ 的直線  與橢圓 C 交于 M，N 兩點．

（I）求橢圓C的方程；

（II）是否存在直線 ，使得 ，若存在，求出直線  的方程；若不存在，說明理由；

（III）若 AB 是橢圓 C 經過原點 O 的弦，MN//AB，求證： 為定值．

 

（本題滿分12分）已知橢圓的離心率為，

直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線過點F₁，且垂直于橢圓的長軸，動直

線垂直于點P，線段PF₂的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡C₂的方程；

（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C₁的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F₂，求四邊形ABCD的面積

的最小值．