5．用集合思想解題 [例11]一次大型會議有2002位代表參加.每位代表至少有1335位合作者．試問這些代表中是否總可以找到四位代表.他們中的每兩位都合作過?請證明你的結論． [分析]以合作的人數最少(2人)的情況為基礎.構造集合.利用集合元素的個數的計數原理.使合作的人數增多． [解]記各代表為ai(i=1,2,3,-,2002).與ai合作過的代表組成的集合記為Ai.任取合作過的兩位代表為a1.a2.于是 card(A1)≥1335.card(A2)≥1335. card(A1∪A2)≤2002.card (A1∪A2∪A3)≤2002． 畫出韋恩圖.得 card(A1∩A2)= card(A1)+ card(A2)- card(A1∪A2) ≥1335+1335-2002=668>0. 從而.存在代表a3Î A1∩A2.且a3Ï{ a1.a2}． 又card(A1∩A2∩A3)= card[(A1∩A2)∩A3] = card(A1∩A2)+ card(A2)- card[(A1∩A2)∪A3] ≥668+1335- card[(A1∪A2)∪A3] ≥2003-2002=1． 于是.存在代表a4Î A1∩A2∩A3.且a4Ï{ a1.a2.a3}.即存在代表a1,a2, a3, a4.兩兩合作過． [點悟]①解題關鍵點是構造集合.利用集合思想進行解題． ②解題規律是畫韋恩圖.得到關于集合的元素個數的計數原理:card(A∩B)= card(A)+ card(B)- card(A∪B)． 利用集合思想解題.使問題變得簡潔.思路顯得清晰． ③解題易錯點容易誤認為:card(A∪B)= card(A)+ card(B)． 【
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