19．設a>0.求函數． [命題意圖] 本題主要考查函數的求導.導數在研究函數性質中的應用和不等式的求解等基本知識.以及運算能力． 本題給出的函數比較簡單.為冪函數與對數函數ln(x+a)之差.讓考生求這個函數的單調區間．直接應用單調函數的定義.難以進行有效的討論.宜借助求導的方法求解．以此可以考查函數求導的技能.以及討論導數正負性的方法． 所設的函數含有參數a.討論函數單調區間時.應顧及a值的影響．這樣.也就考查了分類討論的數學方法.強化了試題對能力的考查功能． [解題思路] 可從求函數的導數入手.再討論導數的正負性變化區間.便可確定函數的單調區間．由于所得導數含有x的根式和分式.在討論導數正負性時.將遇到解含根式和分式的方程或不等式.須正確運用同解變換的思想方法和技能． (i)當a>1時.方程①無解.即f′在區間上正負性不變.故由 知f′上恒成立.所以的單調區間.f上是增函數． (ii)a=1時.方程①有惟一解x=1． 知當0<x<1時.恒有f′(x)>0,由f′ 知當x>1時.恒有f′(x)>0． 所以.當a=1時.函數f上是增函數.在區間上也是增函數．又f(x)在x=1連續.所以的單調區間.f上是增函數． (iii)當0<a<1時.方程①有兩個根: 這時,由于 可知:當0<x<或 所以.當0<a<1時.都是單調區間.f(x)在這兩個區間上都是增函數,也是單調區間.f(x)在這個區間上是減函數． (i)當a>1時,2a-4>-2,由x>0知 (ii)當a=1時, 當且僅當x=1時取等號．即當0<x<1或x>1時.f′或內都單調遞增．又f(x)在x=1處連續.因此.f內單調遞增． 因此.函數f(x)在區間內單調遞增.在區間內也單調遞增． 令f′(x)<0.即 因此.函數.f(x)在區間內單調遞減． 【
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