(1)解:作出橢圓的左準線l.作MN⊥l交l于點N. 設.橢圓的離心率是e.橢圓的半焦距是c. 根據橢圓的定義得:.所以 .同理可得: 所以 由||MF1|·||MF2|的最小值為得: .解得----4分 [注:若學生沒有證明|MF1|= 而直接使用此結論.則(Ⅰ)中扣去1分] (Ⅱ)解:依題意得雙曲線C2的離心率為2. 設C2的方程是假設存在適合題意的常 數.①先來考查特殊情形下的值: PA⊥x軸時.將x=2c代入雙曲線方程.解得|y|=3c. 因為|AF1|=3c.所以△PAF1是等腰直角三角形. ∠PAF1=90°.∠PF1A=45°.此時=2---7分 ②以下證明當PA與x軸不垂直時.∠PAF1=2∠PF1A恒成立. 設.由于點P在第一象限內.所以直線PF1斜率存在., 因為PA與x軸不垂直.所以直線PA斜率也存在.. 因為所以.將其代入上式并化簡得: 因為∠PAF1+∠PAx=180°. 所以即tan2∠PF1A=tg∠PAF1.------12分 因為∠∠所以∠PAF1. 2∠PF1A所以∠PAF1=2∠PF1A恒成立. 綜合①.②得:存在常數.使得對位于雙曲線C2在第一象限內的任意一點p. ∠PAF1=2∠PF1A恒成立.--------14分 [注:②中如果學生認為∠PAF1.2∠PF1A本題不扣分] 【
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