.(本小題滿分14分)

設函數.其中為常數.

（Ⅰ）證明：對任意，的圖象恒過定點；

(Ⅱ) 設，若為定義域上的增函數，求的最大值；

（Ⅲ）當時，函數是否存在極值？若存在，求出極值；若不存在，說明理由.

本小題滿分14分）

（Ⅰ）已知函數，其中為有理數，且. 求的最小值；

（Ⅱ）試用（Ⅰ）的結果證明如下命題：設，為正有理數. 若，則；

（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題.

注：當為正有理數時，有求導公式.

（本小題滿分14分）已知定義在實數集上的函數f_n(x)=xⁿ，n∈N^*，其導函數記為，且滿足，a，x₁，x₂為常數,x₁≠x₂．
(1)試求a的值；
(2)記函數，x∈（0，e]，若F(x)的最小值為6，求實數b的值；
(3)對于(2)中的b，設函數，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁<x₂)是函數g(x)圖象上兩點，若，試判斷x₀，x₁，x₂的大小，并加以證明．

（本小題滿分14分）
已知函數，數列滿足，；數列滿足，，其中為數列前幾項和，
（1）求數列和數列的通項公式；
（2）設，證明．

（本小題滿分14分）

已知函數在上有定義，對任意實數和任意實數，都有.

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）證明（其中k和h均為常數）；

（Ⅲ）當（Ⅱ）中的時，設，討論在內的單調性.