（本小題滿分12分）如圖，斜三棱柱，已知側面與底面ABC垂直且∠BCA =90°，∠，=2，若二面角為30°.   （Ⅰ）證明；

（Ⅱ）求與平面所成角的正切值；

（Ⅲ）在平面內找一點P，使三棱錐為正三棱錐，并求P到平面距離.

（本小題滿分12分）如圖，斜三棱柱中，在底面的射影恰好是的中點，側棱與底面成角，側面與側面成角.

（1）求證：四邊形是矩形；（2）求斜三棱柱的體積.

（本小題滿分12分）

如圖，斜三棱柱，已知側面與底面垂直且，，，若二面角為，

（1）證明平面；                        

（2）求與平面所成角的正切值；

（3）在平面內找一點，使三棱錐為正三棱錐，并求點到平面距離.

（本小題滿分12分）請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=xcm.

（1）若廣告商要求包裝盒側面積S（cm²）最大，試問x應取何值？

（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm³）最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.

（本小題滿分12分）如圖，在斜三棱柱中，已知側面與底面垂直，且，，，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）在平面內找一點P，使三棱錐為正三棱錐（底面為正三角形，頂點在底面內的射影為底面的中心），并求此三棱錐體積．