22.已知函數f(x)=-x³+ax²+b(a,b∈R)

(1)若函數y=f(x)圖像上任意不同的兩點連線斜率小于1，求證：-＜a＜

若x∈［0,1］,函數y=f(x)上任一點切線斜率為k,討論｜k｜≤1的充要條件

解：(1)設任意不同的兩點P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),且x₁≠x₂

則＜1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

∴＜1

即-x₁²-x₁x₂-x₂²+a(x₁+x₂)＜1

∴-x₁²+(a-x₂)x₁-x₂²+ax₂-1＜0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

∵x₁∈R

∴Δ=(a-x₂)²+4(-x₂²+ax₂-1)＜0

即-3x₂²+2ax₂+a²-4＜0

∴-3(x₂-)²++a²-4＜0

∴a²-4＜0,∴-＜a＜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

(2)當x∈［0,1］時，k=f′(x)=-3x²+2ax(7分)

由題意知：-1≤-3x²+2ax≤1,x∈［0,1］

即對于任意x∈［0,1］,｜f′(x)｜≤1等價于｜f′(0)｜，｜f′(1)｜，

｜f′()｜的值滿足

或　 或　　　　　　　　　　　　 (11分)

即 或 　或

∴1≤a≤

即｜k｜≤1的充要條件是1≤a≤

20.已知函數f(x)=x⁴－4x³+ax²－1在區間［0,1)上單調遞增，在區間［1，2)上單調遞減.

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若點A(x₀,f(x₀))在函數f(x)的圖象上，求證點A關于直線x=1的對稱點B也在函數f(x)的圖象上；

(Ⅲ)是否存在實數b，使得函數g(x)=bx²－1的圖象與函數f(x)的圖象恰有3個交點.若存在，請求出實數b的值；若不存在，試說明理由.

解：(Ⅰ)由函數f(x)=x⁴－4x³+ax²－1，在區間［0，1)上單調遞增，在區間［1，2)上單調遞減，

∴x=1時，f(x)取得極大值，∴f′(1)=0.　　　　　　 2分

f′(x)=4x³－12x²+2ax, ∴4－12+2a=0a=4.　　　　　　　　　　 4分

(Ⅱ)點A(x₀,f(x₀))關于x=1的對稱點B坐標為(2－x₀,f(x₀)),　　　　　 6分

f(2－x₀)=(2－x₀)⁴－4(2－x₀)³+4(2－x₀)²－1=(2－x₀)²［(2－x₀)－2］²－1

=x₀⁴－4x₀³+4x₀²－1=f(x₀).　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

∴點A關于直線x=1的對稱點B也在函數f(x)的圖象上.　　　　　　　 9分

(Ⅲ)函數g(x)=bx²－1的圖象與函數f(x)的圖象恰有3個交點，等價于方程x⁴－4x³+4x²－1=bx²－1恰有3個不等實根，　　 　　　　　　　　　　 　 10分

x⁴－4x³+4x²－1=bx²－1x⁴－4x³+(4－b)x²=0.

∵x=0是其中一個根，

∴方程x²－4x+(4－b)=0有兩個非0不等實根.　　　　　　　 　 12分

∴∴b＞0且b≠4.　　　　　　　 　 14分

19.已知偶函數f (x)，對任意x₁，x₂∈R，恒有：．

(1)求f (0)，f (1)，f (2)的值；

(2)求f (x)；

(3)判斷在(0，+∞)上的單調性

解：(1) f (0) = -1，f (1) = 0，f (2) = 3；

　　　 (2)，

　　　　　　 又，f (0) = -1，故；

　　　 (3)．用定義可證明在［，+∞)上是增函數，

在(0，］上為減函數

18.在△ABC中，已知.(I)若任意交換的位置，的值是否會發生變化?試證明你的結論；　 (II)求的最大值.

解：(I)∵

，

　　　 ∴ 任意交換的位置，的值不會發生變化．

　　　 (II)將看作是關于的二次函數.

.

所以，當，且取到最大值1時，也即時，取得最大值．

也可有如下簡單解法：

19. 已知函數：．

　 (1)證明：f(x)+2+f(2a－x)=0對定義域內的所有x都成立；

　 (2)當f(x)的定義域為[a+,a+1]時，求證：f(x)的值域為[－3，－2]；

　 (3)設函數g(x)=x²+|(x－a)f(x)| ,求g(x) 的最小值

解(1)證明：

．

∴結論成立 ………………………………………………………………………………4’

(2)證明：

當，，

　，，

∴．

　　 即．………………………………………………………………8’

(3)　

①當．

如果　 即時，則函數在上單調遞增，

∴ ．

如果．

當時，最小值不存在．……………………………………………………10’

②當 ，　

如果．

如果．

當．

．……………………………………………12’

綜合得：當時， g(x)最小值是；當時， g(x)最小值是 ；當時， g(x)最小值為；當時， g(x)最小值不存在．

17. 已知函數的定義域為，值域為．試求函數()的最小正周期和最值

解： ……2’

…………………………4’

當＞0時，，

解得，………………………………………………………………6’

從而， ，

T=，最大值為5，最小值為－5；………………………………………………8’

當m＜0時， 解得，………………………………………………10’

從而，，T=，最大值為，

最小值為．……………………………………………………………………12

15. 若直線y=2a與函數y=|a^x-1|(a>0,且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是_ ______.

14. 已知函數.給出下列命題：①f(x)必是偶函數；②f(0)= f(2)時，f(x)的圖象必關于直線x=1對稱；③若，則f(x)在區間上是增函數；

④f(x)有最小值.　　 其中正確命題的序號是.③　　　 .

13. 已知二次函數f(x)= x²－3x + p－1，若在區間[0，1]內至少存在一個實數c，

使f(c)＞0，則實數p的取值范圍是__ (1，+∞)

16. 如右圖，它滿足：(1)第n行首尾兩數均為n，

(2)表中的遞推關系類似楊輝三角，則第n行

(n≥2)第2個數是