現有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數大于2的人去參加乙游戲.

（Ⅰ）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；

（Ⅱ）求這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率；

（Ⅲ）用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數，記，求隨機變量的分布列與數學期望.

【解析】依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.

設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件

則.

（1）這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率

（2）設“這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數”為事件B，則.由于互斥，故

所以，這個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率為.

（3）的所有可能取值為0,2,4.由于互斥，互斥，故

所以的分布列是

隨機變量的數學期望.

甲船由島出發向北偏東的方向作勻速直線航行，速度為海里∕小時，在甲船從島出發的同時，乙船從島正南海里處的島出發，朝北偏東的方向作勻速直線航行，速度為海里∕小時。

⑴求出發小時時兩船相距多少海里？

⑴   兩船出發后多長時間相距最近？最近距離為多少海里？

【解析】第一問中根據時間得到出發小時時兩船相距的海里為

第二問設時間為t，則

利用二次函數求得最值，

解：⑴依題意有：兩船相距

答：出發3小時時兩船相距海里                           

⑵兩船出發后t小時時相距最近，即

即當t=4時兩船最近，最近距離為海里。

在函數的圖象上有、、三點，橫坐標分別為其中．

⑴求的面積的表達式；

⑵求的值域．

【解析】由題意利用分割可先表示三角形ABC的面積，然后應用對數運算性質及二次函數的性質求解函數的最大值，屬于知識的簡單綜合.

（本小題滿分14分）為研究我校高二年級的男生身高，隨機抽取40名男生，實測身高數據（單位：厘米）如下：

171      173    163    169    166    167    168.5  160    170    165

175      169    167    156    165.5 168    170    184    168    174

165      170    174    161    177     175.5  173    164    175    171.5

176      159    172    181    175.5  165    163    173    170.5  171

（I）依據題目提示作出頻率分布表；

（Ⅱ）在（I）的條件下畫出頻率分布直方圖并且畫出其頻率分布折線圖；

（Ⅲ）試利用頻率分布的直方圖估計樣本的平均數。

【解】（I）最低身高156cm，最高身高184cm，確定組距為4，作頻率分布表如下：

（Ⅱ）頻率直方圖如下：

（本題滿分12分）

某簡諧運動的圖像對應的函數解析式為：.

（1）指出此簡諧運動的周期、振幅、頻率、相位和初相；

（2）利用“五點法”作出函數在一個周期（閉區間）上的簡圖；

（3）說明它是由函數y=sinx的圖像經過哪些變換而得到的。

【解】：（1）周期：         ；  振幅：         ；    

頻率：         ；   相位：         ；初相：         ；

 （2）

（3）① 先將函數的圖像                                      得到函數

的圖像；② 再將函數的圖像                              得到

函數的圖像；③ 最后再將函數的圖像              

                      得到函數的圖像。