(3)證明:對于整數n≥2, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

對于正整數k，用g（k）表示k的最大奇因數，如：g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，…．記an=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n），其中n是正整數．
（I）寫出a1，a2，a3，并歸納猜想an與an-1（n≥2，n∈N）的關系式；
（II）證明（I）的結論；
（Ⅲ）求an的表達式．

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對于各項均為正數且各有m項的數列{an}，{bn}，按如下方法定義數列{tn}：t0=0，
tn=
tn-1-an+bntn-1≥an
bntn-1＜an
（n=1，2…m），并規定數列{an}到{bn}的“并和”為Sab=a1+a2+…+an+tm．
（Ⅰ）若m=3，數列{an}為3，7，2；數列{bn}為5，4，6，試求出t1、t2、t3的值以及數列{an}到{bn}的并和Sab；
（Ⅱ）若m=4，數列{an}為3，2，3，4；數列{bn}為6，1，x，y，且Sab=17，求證：y≤5；
（Ⅲ）若m=6，下表給出了數列{an}，{bn}：
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如果表格中各列（整列）的順序可以任意排列，每種排列都有相應的并和Sab，試求Sab的最小值，并說明理由．

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對于實數x，將滿足“0≤y＜1且x-y為整數”的實數y稱為實數x的小數部分，用記號{x}表示．例如{1.2}=0.2，{-1.2}=0.8，{
8
7
}=
1
7
．對于實數a，無窮數列{an}滿足如下條件：a1={a}，an+1=
1
an
  ，an≠0
0， an=0
  其中n=1，2，3，…．
（1）若a=
2
，求a2，a3 并猜想數列{a}的通項公式（不需要證明）；
（2）當a＞
1
4
時，對任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的實數a構成的集合A；
（3）若a是有理數，設a=
p
q
 （p是整數，q是正整數，p，q互質），對于大于q的任意正整數n，是否都有an=0成立，證明你的結論．

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對于數列{xn}，從中選取若干項，不改變它們在原來數列中的先后次序，得到的數列稱為是原來數列的一個子數列．某同學在學習了這一個概念之后，打算研究首項為正整數a，公比為正整數q（q＞0）的無窮等比數列{an}的子數列問題．為此，他任取了其中三項ak，am，an（k＜m＜n）．
（1）若ak，am，an（k＜m＜n）成等比數列，求k，m，n之間滿足的等量關系；
（2）他猜想：“在上述數列{an}中存在一個子數列{bn}是等差數列”，為此，他研究了ak+an與2an的大小關系，請你根據該同學的研究結果來判斷上述猜想是否正確；
（3）他又想：在首項為正整數a，公差為正整數d的無窮等差數列中是否存在成等比數列的子數列？請你就此問題寫出一個正確命題，并加以證明．

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對于實數a，將滿足“0≤y＜1且x-y為整數”的實數y稱為實數x的小數部分，用記號||x||表示，對于實數a，無窮數列{an}滿足如下條件：a1=|a，an+1=其中n=1，2，3，…
（1）若a=，求數列{an}；
（2）當a時，對任意的n∈N*，都有an=a，求符合要求的實數a構成的集合A．
（3）若a是有理數，設a= （p 是整數，q是正整數，p、q互質），問對于大于q的任意正整數n，是否都有an=0成立，并證明你的結論．

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