在復平面內， 是原點，向量對應的復數是，=2+i。

（Ⅰ）如果點A關于實軸的對稱點為點B，求向量對應的復數和；

（Ⅱ）復數，對應的點C，D。試判斷A、B、C、D四點是否在同一個圓上？并證明你的結論。

【解析】第一問中利用復數的概念可知得到由題意得，A（2,1）  ∴B(2,-1)   ∴  =(0,-2) ∴=-2i  ∵ （2+i）(-2i)=2-4i,      ∴  =

第二問中，由題意得，=（2,1）  ∴

同理，所以A、B、C、D四點到原點O的距離相等，

∴A、B、C、D四點在以O為圓心，為半徑的圓上

（Ⅰ）由題意得，A（2,1）  ∴B(2,-1)   ∴  =(0,-2) ∴=-2i     3分

     ∵ （2+i）(-2i)=2-4i,      ∴  =                 2分

（Ⅱ）A、B、C、D四點在同一個圓上。                              2分

證明：由題意得，=（2,1）  ∴

  同理，所以A、B、C、D四點到原點O的距離相等，

∴A、B、C、D四點在以O為圓心，為半徑的圓上

 

已知在同一平面內滿足條件：=，．
（I）求證：△ABC為正三角形；
（II）類比于（I），在同一平面內，若向量滿足條件：=，，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給予證明．

如圖，在三棱錐中，，，是的中點，且，．

（I）求證：平面平面；

（II）試確定角的值，使得直線與平面所成的角為．

在正四棱柱中，，為的中點．

求證：（I）∥平面；  （II）平面;

（自編）（Ⅲ）若E為上的動點，試確定點的位置使直線與平面所成角的余弦值是．