設定義在（0，+）上的函數

（Ⅰ）求的最小值；

(Ⅱ)若曲線在點處的切線方程為，求的值。

 【解析】 （Ⅰ）因，故，取等號的條件是，即。

(Ⅱ)因，由，求得，又由，可得，解得

 

已知函數f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數f(x)的圖像上去定點A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當時單調遞減；當時單調遞增，故當時，取最小值

于是對一切恒成立，當且僅當.　　　　　　　�、�

令則

當時，單調遞增；當時，單調遞減.

故當時，取最大值.因此，當且僅當時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當時，單調遞減；當時，單調遞增.故當，即

從而，又

所以因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設存在的情況下進行推理，然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題，通過構造函數，研究這個函數的性質進行分析判斷.

 

（(本小題共13分)

若數列滿足，數列為數列，記=.

（Ⅰ）寫出一個滿足，且〉0的數列；

（Ⅱ）若，n=2000，證明：E數列是遞增數列的充要條件是=2011；

（Ⅲ）對任意給定的整數n（n≥2），是否存在首項為0的E數列，使得=0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數列；如果不存在，說明理由。

【解析】：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數列A₅。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E的數列A₅）

（Ⅱ）必要性：因為E數列A₅是遞增數列，所以.所以A₅是首項為12，公差為1的等差數列.所以a₂₀₀₀=12+（2000—1）×1=2011.充分性，由于a₂₀₀₀—a₁₀₀₀1，a₂₀₀₀—a₁₀₀₀1……a₂—a₁1所以a₂₀₀₀—a19999，即a₂₀₀₀a₁+1999.又因為a₁=12，a₂₀₀₀=2011,所以a₂₀₀₀=a₁+1999.故是遞增數列.綜上，結論得證。

 

 

已知函數 R)．

（Ⅰ）若 ，求曲線  在點  處的的切線方程；

（Ⅱ）若  對任意  恒成立，求實數a的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。

第一問中，利用當時，．

因為切點為（）， 則，                 

所以在點（）處的曲線的切線方程為：

第二問中，由題意得，即即可。

Ⅰ）當時，．

，                                  

因為切點為（）， 則，                  

所以在點（）處的曲線的切線方程為：．    ……5分

（Ⅱ）解法一：由題意得，即．      ……9分

（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）

，           

因為，所以恒成立，

故在上單調遞增，                            ……12分

要使恒成立，則，解得．……15分

解法二：                 ……7分

      （1）當時，在上恒成立，

故在上單調遞增，

即．                  ……10分

（2）當時，令，對稱軸，

則在上單調遞增，又    

① 當，即時，在上恒成立，

所以在單調遞增，

即，不合題意，舍去  

②當時，， 不合題意，舍去 14分

綜上所述： 

 

已知數列的前項和為，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通項公式；

(Ⅱ) 設 (N^*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結論。

解：(Ⅰ)當時，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對偶式）設，，

則.又，也即，所以，也即，又因為，所以.即

                    ………10分

證法四：（數學歸納法）①當時, ,命題成立;

   ②假設時,命題成立,即,

   則當時,

    即

即

故當時，命題成立.

綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即