在平面直角坐標系中,曲線的參數方程為

   點是曲線上的動點.

  （1）求線段的中點的軌跡的直角坐標方程；

  （2） 以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，若直線的極坐標方程為，求點到直線距離的最大值.

【解析】第一問利用設曲線上動點，由中點坐標公式可得

所以點的軌跡的參數方程為

消參可得

第二問，由題可知直線的直角坐標方程為，因為原點到直線的距離為，

所以點到直線的最大距離為

【解析】B.由題得所以選B.

已知,是橢圓左右焦點，它的離心率，且被直線所截得的線段的中點的橫坐標為

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設是其橢圓上的任意一點，當為鈍角時，求的取值范圍。

【解析】解：因為第一問中，利用橢圓的性質由得   所以橢圓方程可設為：，然后利用

得得    

      橢圓方程為

第二問中，當為鈍角時，,    得

所以    得

解：（Ⅰ）由得   所以橢圓方程可設為：

                                       3分

得得    

      橢圓方程為             3分

（Ⅱ）當為鈍角時，,    得   3分

所以    得

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設平面PCD的法向量，

則,即.不防設，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設點E的坐標為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設交點為F，連接BE，EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

在復平面內， 是原點，向量對應的復數是，=2+i。

（Ⅰ）如果點A關于實軸的對稱點為點B，求向量對應的復數和；

（Ⅱ）復數，對應的點C，D。試判斷A、B、C、D四點是否在同一個圓上？并證明你的結論。

【解析】第一問中利用復數的概念可知得到由題意得，A（2,1）  ∴B(2,-1)   ∴  =(0,-2) ∴=-2i  ∵ （2+i）(-2i)=2-4i,      ∴  =

第二問中，由題意得，=（2,1）  ∴

同理，所以A、B、C、D四點到原點O的距離相等，

∴A、B、C、D四點在以O為圓心，為半徑的圓上

（Ⅰ）由題意得，A（2,1）  ∴B(2,-1)   ∴  =(0,-2) ∴=-2i     3分

     ∵ （2+i）(-2i)=2-4i,      ∴  =                 2分

（Ⅱ）A、B、C、D四點在同一個圓上。                              2分

證明：由題意得，=（2,1）  ∴

  同理，所以A、B、C、D四點到原點O的距離相等，

∴A、B、C、D四點在以O為圓心，為半徑的圓上