題目列表(包括答案和解析)
為了比較注射A,B兩種藥物后產生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做實驗，將這200只家兔隨機地分成兩組。每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B。下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B后的實驗結果。（皰疹面積單位：
）
表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數分布表
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皰疹面積 |
|
|
|
|
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頻數 |
30 |
40 |
20 |
10 |
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頻率/組距 |
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表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數分布表
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皰疹面積 |
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頻數 |
10 |
25 |
20 |
30 |
15 |
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頻率/組距 |
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（1） 完成上面兩個表格及下面兩個頻率分布直方圖；
（2）完成下面
列聯表，并回答能否有99.9％的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”。 (結果保留4位有效數字)
|
|
皰疹面積小于70 |
皰疹面積不小于70 |
合計 |
|
注射藥物A |
a= |
b= |
|
|
注射藥物B |
c= |
d= |
|
|
合計 |
|
|
n= |
附：
|
P（K2≥k） |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.010 |
0.001 |
|
k |
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
10.828 |
;
【解析】根據已知條件，得到列聯表中的a,b,c,d的值，代入已知的公式中
然后求解值，判定兩個分類變量的相關性。
解：
由于K2≥10.828，所以有99.9%的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”
1. 構造向量
，
，所以
，
.由數量積的性質
，得
，即
的最大值為2.
2. ∵
，令
得
，所以
，當
時，
，當
時，
，所以當時，
.
3.∵
，∴
，
，又
，∴
，則
，所以周期
.作出
在
上的圖象知：若
，滿足條件的
（
）存在，且
，
關于直線
對稱，
，
關于直線
對稱，∴
；若
，滿足條件的（）存在，且，關于直線
對稱，，關于直線
對稱，
∴
.
4. 不等式
（
）表示的區域是如圖所示的菱形的內部，
∵
，
當
，點
到點
的距離最大，此時的最大值為
；
當
，點
到點的距離最大，此時的最大值為3.
5. 由于已有兩人分別抽到5和14兩張卡片，則另外兩人只需從剩下的18張卡片中抽取，共有
種情況.抽到5 和14的兩人在同一組，有兩種情況:
(1) 5 和14 為較小兩數，則另兩人需從15～20這6張中各抽1張,有
種情況；
(2) 5 和14 為較大兩數，則另兩人需從1～4這4張中各抽1張,有
種情況.
于是，抽到5 和14 兩張卡片的兩人在同一組的概率為
.
6. ∵
，∴
，
設
，
，則
.
作出該不等式組表示的平面區域（圖中的陰影部分
）.
令
，則
，它表示斜率為
的一組平行直線，易知，當它經過點
時，
取得最小值.
解方程組
，得
，∴
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