已知正項數列{a_n}的前n項和sn=

an2+an

2

，bn=(1+

1

2an

)an(n∈N*)．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）定理：若函數f（x）在區間D上是凹函數，且f'（x）存在，則當x₁＞x₂（x₁，x₂∈D）時，總有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜f′(x1)，請根據上述定理，且已知函數y=xⁿ⁺¹（n∈N*）是（0，+∞）上的凹函數，判斷b_n與b_n+1的大小；
（Ⅲ）求證：

3

2

≤bn＜2．

（本小題滿分14分）

已知正項數列的前項和，．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）定理：若函數在區間D上是凹函數，且存在，則當 時，總有．

請根據上述定理，且已知函數是上的凹函數，判斷與的大��；

（Ⅲ）求證：

已知正項數列的前項和，．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）定理：若函數在區間D上是凹函數，且存在，則當 時，總有．請根據上述定理，且已知函數是上的凹函數，判斷與的大��；

（Ⅲ）求證：．

已知橢圓C₁的方程為，雙曲線C₂的左、右焦點分別是C₁的左、右頂點，而C₂的左、右頂點分別是C₁的左、右焦點．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）若直線與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A和B，且（其中O為原點），求k的范圍．
（3）試根據軌跡C₂和直線l，設計一個與x軸上某點有關的三角形形狀問題，并予以解答（本題將根據所設計的問題思維層次評分）．