（2013•虹口區二模）定義域為D的函數f（x），如果對于區間I內（I⊆D）的任意兩個數x₁、x₂都有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，則稱此函數在區間I上是“凸函數”．
（1）判斷函數f（x）=lgx在R⁺上是否是“凸函數”，并證明你的結論；
（2）如果函數f(x)=x2+

a

x

在

1，2

上是“凸函數”，求實數a的取值范圍；
（3）對于區間

c，d

上的“凸函數”f（x），在

c，d

上任取x₁，x₂，x₃，…，x_n．
①證明：當n=2^k（k∈N^*）時，f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

1

n

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]成立；
②請再選一個與①不同的且大于1的整數n，
證明：f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

1

n

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]也成立．

設數列{a_n}滿足：當 n=2k-1（k∈N^*）時，a_n=n；當n=2k（k∈N^*）時，a_n=a_k；記sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n
（1）求s₃；
（2）證明：s_n=4^n-1+s_n-1（n≥2）
（3）證明：

1

s1

+

1

s2

+

1

s3

+…+

1

sn

＜1-

1

4n

．

用數學歸納法證明：當n為正奇數時，xⁿ+yⁿ能被x+y整除，第二步的假設應寫成．

數列{a_n}滿足a_n=

n，當n=2k-1 ak，當n=2k

（k∈N^*）．設f（n）=a₁+a₂+a₃+…+a2n-1+a 2n，則f（5）-f（4）=．