某校從參加某次“廣州亞運”知識競賽測試的學生中隨機抽出60名學生，將其成績（百分制）（均為整數）分成六段[40，50）[50，60）…[90，100）下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）求分數在[70，80）內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
（Ⅱ）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值作為代表，據此估計本次考試的平均分；（Ⅲ）若從60名學生隨機抽取2名，抽到的學生成績在[40，70）記0分，在[70，100）記1分，用ξ表示抽取結束后的總記分，求ξ的分布列和數學期望．

20081006

13．      14．

15．        16． f（）<f（1）< f（）

三、解答題

17．解：（Ⅰ），    

=是奇函數，得，

   （Ⅱ）由（Ⅰ）得，

從而在和上增函數，

在上減函數，

所以在時取得極大值，極大值為，在時取得極小值，極小值為

18．解：（Ⅰ）設A隊得分為2分的事件為,

對陣隊員

隊隊員勝

隊隊員負

對

對

對

0

1

2

3

∴的分布列為:                          

                                                          ………… 8分

于是 , …………9分

∵ ,    ∴     ………… 11分

由于, 故B隊比A隊實力較強.    …………12分

19．解：（1）由得   ∴……………2分

由已知得,  

∴.  從而.……………4分

   （2） 由（1）知,,

即值域為.…………6分

∴由已知得:  于是……………8分

20．解：（Ⅰ），

化為，    或 

解得或，原不等式的解集為

   （Ⅱ），

①當時，在區間[]上單調遞增，從而  

②當時，對稱軸的方程為，依題意得或  解得或

綜合①②得

21．解：（Ⅰ），

若=0 得

解不等式，得，

解不等式，得 和，

從而的單調遞增區間是，單調遞減區間是和

   （Ⅱ）將兩邊取對數得，

因為，從而

由（Ⅰ）得當時，

要使對任意成立，當且僅當，得

22．（Ⅰ）解：是二次函數，且的解集是，

可設．

在區間上的最大值是．

由已知，得．．

．

   （Ⅱ）方程等價于方程．

設，

則．

當時，是減函數；

當時，是增函數．

，

方程在區間內分別有惟一實數根，

而在區間內沒有實數根．

所以存在惟一的自然數，

使得方程在區間內有且只有兩個不同的實數根．

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