已知數列是首項為的等比數列，且滿足.

（1）   求常數的值和數列的通項公式；

（2）   若抽去數列中的第一項、第四項、第七項、……、第項、……，余下的項按原來的順序組成一個新的數列，試寫出數列的通項公式；

（3） 在（2）的條件下，設數列的前項和為.是否存在正整數，使得？若存在，試求所有滿足條件的正整數的值；若不存在，請說明理由.

【解析】第一問中解：由得，，

又因為存在常數p使得數列為等比數列，

則即，所以p=1

故數列為首項是2，公比為2的等比數列，即.

此時也滿足，則所求常數的值為1且

第二問中，解：由等比數列的性質得：

（i）當時，；

（ii） 當時，，

所以

第三問假設存在正整數n滿足條件，則，

則（i）當時，

，

求曲線及直線，所圍成的平面圖形的面積.

【解析】本試題主要是考查了定積分的運用。

解：做出曲線xy=1及直線y=x，y=3的草圖，則所求面積為陰影部分的面積

解方程組 得直線y=x與曲線xy=1的交點坐標為（1，1）      

同理得：直線y=x與曲線y=3的交點坐標為（3，3）

        直線y=3與曲線xy=1的交點坐標為（，3）………………3分

因此，所求圖形的面積為

求由拋物線與直線及所圍成圖形的面積.

【解析】首先利用已知函數和拋物線作圖，然后確定交點坐標，然后利用定積分表示出面積為，所以得到,由此得到結論為

解：設所求圖形面積為，則

=．即所求圖形面積為．