已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為，右頂點為D（2，0），設點．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在直線l，滿足l過原點O并且交橢圓于點B、C，使得△ABC面積為1？如果存在，寫出l的方程；如果不存在，請說明理由．

2,4,6

13．    14．7   15．2    16．

17．17．解：（１）  --------------------２分

　--------------------４分

--------------------６分

．--------------------８分

當時（９分），取最大值．--------------------１０分

（２）當時，，即，--------------------１１分

解得，．-------------------- 12分

18．解法一 “有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，記“有放回摸球兩次，兩球恰好顏色不同”為事件A，

∵“兩球恰好顏色不同”共2×4+4×2=16種可能，

解法二  “有放回摸取”可看作獨立重復實驗∵每次摸出一球得白球的概率為

∴“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為

（2）設摸得白球的個數為，依題意得

19．方法一

   （2）

20．解：（1）．

　　∵　x≥1．　∴　，-----------------------------------------------------2分

　　 （當x=1時，取最小值）．

　　∴　a＜3（a＝3時也符合題意）．　∴　a≤3．------------------------------------4分

　　（2），即27-6a+3＝0，　∴　a＝5，.------------6分

令得 ，或 (舍去) --------------------------8分

當時,; 當時,

　　即當時,有極小值．又    ---------10分

　  ∴　f（x）在，上的最小值是，最大值是. ----------12分

21．解：（Ⅰ）∵，∴,

∵數列{}的各項均為正數，∴，

∴，

即（），所以數列{}是以2為公比的等比數列.………………3分

∵是的等差中項，

∴，

∴，∴，

∴數列{}的通項公式.……………………………………………………6分

   （Ⅱ）由（Ⅰ）及=得，， ……………………………8分

∵，

∴      1

∴   ②

②-1得，

=……………………………10分

要使S>50成立，只需2ⁿ⁺¹-2>50成立，即2ⁿ⁺¹>52，n³5

∴使S>50成立的正整數n的最小值為5. ……………………………12分

22．解：（Ⅰ）由已知得

              …………4分

  （Ⅱ）設P點坐標為（x，y）（x＞0），由得

                       …………5分    

         ∴   消去m，n可得

             ，又因     8分 

        ∴ P點的軌跡方程為  

        它表示以坐標原點為中心，焦點在軸上，且實軸長為2，焦距為4的雙曲線

的右支             …………9分

（Ⅲ）設直線l的方程為，將其代入C的方程得

        即                          

 易知（否則，直線l的斜率為，它與漸近線平行，不符合題意）

        又     

       設，則

       ∵  l與C的兩個交點在軸的右側

       ∴ ，即     

又由  同理可得       …………11分

        由得

     ∴

   由得

  由得

消去得

解之得： ，滿足                …………13分

故所求直線l存在，其方程為：或  …………14分