如圖甲所示，一寬度為L且足夠長的光滑“匚”形金屬導軌水平放置在勻強磁場中，勻強磁場的磁感應強度為B，方向豎直向下，“匚”形金屬導軌上連接一阻值為R的電阻．一質量為m長為L的導體棒，剛好橫跨在導軌上．現導體棒在水平恒力F作用下從靜止開始向右運動，當棒獲得某一最大速度時立即撤掉水平恒力F．設導體棒始終與導軌接觸并且不分離，導軌和金屬桿的電阻不計．

（1）求出棒的加速度a和速度v的關系式，并分析棒的運動情況．
（2）當撤掉水平恒力F后，求系統產生的電能．
（3）在圖乙上畫出棒的a-v圖線．（要求標上有關坐標）

在高能物理研究中，粒子加速器起著重要作用，而早期的加速器只能使帶電粒子在高壓電場中加速一次，因而粒子所能達到的能量受到高壓技術的限制。1930年，Earnest O. Lawrence提出了回旋加速器的理論，他設想用磁場使帶電粒子沿圓弧形軌道旋轉，多次反復地通過高頻加速電場，直至達到高能量。圖甲為Earnest O. Lawrence設計的回旋加速器的示意圖。它由兩個鋁制D型金屬扁盒組成，兩個D形盒正中間開有一條狹縫；兩個D型盒處在勻強磁場中并接有高頻交變電壓。圖乙為俯視圖，在D型盒上半面中心S處有一正離子源，它發出的正離子，經狹縫電壓加速后，進入D型盒中。在磁場力的作用下運動半周，再經狹縫電壓加速；為保證粒子每次經過狹縫都被加速，應設法使交變電壓的周期與粒子在狹縫及磁場中運動的周期一致。如此周而復始，最后到達D型盒的邊緣，獲得最大速度后被束流提取裝置提取出。已知正離子的電荷量為q，質量為m，加速時電極間電壓大小恒為U，磁場的磁感應強度為B，D型盒的半徑為R，狹縫之間的距離為d。設正離子從離子源出發時的初速度為零。
（1）試計算上述正離子從離子源出發被第一次加速后進入下半盒中運動的軌道半徑；
（2）盡管粒子在狹縫中每次加速的時間很短但也不可忽略。試計算上述正離子在某次加速過程當中從離開離子源到被第n次加速結束時所經歷的時間；
（3）不考慮相對論效應，試分析要提高某一離子被半徑為R的回旋加速器加速后的最大動能可采用的措施。