如圖，已知圓與軸負半軸的交點為. 由點出發的射線的斜率為. 射線與圓相交于另一點

（1）當時，試用表示點的坐標；

（2）當時，求證：“射線的斜率為有理數”是“點為單位圓上的有理點”的充要條件；（說明：坐標平面上，橫、縱坐標都為有理數的點為有理點.我們知道，一個有理數可以表示為，其中、均為整數且、互質）

（3）定義：實半軸長、虛半軸長和半焦距都是正整數的雙曲線為“整勾股雙曲線”.

當為有理數且時，試證明：一定能構造偶數個“整勾股雙曲線”(規定：實軸長和虛軸長都對應相等的雙曲線為同一個雙曲線)，它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點的橫坐標、縱坐標和半徑的數值構成. 說明你的理由并請嘗試給出構造方法.