（本小題滿分14分）

已知a，b為常數，且a≠0，函數f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然對數的底數）。

（I）求實數b的值；

（II）求函數f（x）的單調區間；

（III）當a=1時，是否同時存在實數m和M（m<M），使得對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數m和最大的實數M；若不存在，說明理由。

（本小題16分）已知a>0，函數f（x）=ax－bx².

（I）當b>0時，若對任意x∈R都有f（x）≤1，證明a≤2；

（II）當b>1時，證明：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2；

（III）當0<b≤1時，討論：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件.

已知a，b為常數，且a≠0，函數f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然對數的底數）。

（I）求實數b的值；

（II）求函數f（x）的單調區間；

（III）當a=1時，是否同時存在實數m和M（m<M），使得對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數m和最大的實數M；若不存在，說明理由。