已知函數．（）

（1）若在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）若在區間上，函數的圖象恒在曲線下方，求的取值范圍．

【解析】第一問中，首先利用在區間上單調遞增，則在區間上恒成立，然后分離參數法得到，進而得到范圍；第二問中，在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立．然后求解得到。

解：（1）在區間上單調遞增，

則在區間上恒成立．  …………3分

即，而當時，，故． …………5分

所以．                 …………6分

（2）令，定義域為．

在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立．   

∵        …………9分

① 若，令，得極值點，，

當，即時，在（，+∞)上有，此時在區間上是增函數，并且在該區間上有，不合題意；

當，即時，同理可知，在區間上遞增，

有，也不合題意；                     …………11分

② 若，則有，此時在區間上恒有，從而在區間上是減函數；

要使在此區間上恒成立，只須滿足，

由此求得的范圍是．        …………13分

綜合①②可知，當時，函數的圖象恒在直線下方．

（14分）已知函數，其中常數。

（1）當時，求函數的單調遞增區間；

（2）當時，是否存在實數，使得直線恰為曲線的切線？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（3）設定義在上的函數的圖象在點處的切線方程為，當時，若在內恒成立，則稱為函數的“類對稱點”。當，試問是否存在“類對稱點”？若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，說明理由．

（14分）已知函數，其中常數。
（1）當時，求函數的單調遞增區間；
（2）當時，是否存在實數，使得直線恰為曲線的切線？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
（3）設定義在上的函數的圖象在點處的切線方程為，當時，若在內恒成立，則稱為函數的“類對稱點”。當，試問是否存在“類對稱點”？若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，說明理由．

設三次函數，在處取得極值，其圖像在處的切線的斜率為。

（1）求證：；

（2）若函數在區間上單調遞增，求的取值范圍；

（3）問是否存在實數（是與無關的常數），當時，恒有恒成立？若存在，試求出的最小值；若不存在，請說明理由。