本小題滿分12分如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=1，AB=，BC=，AA₁=。   （I）求證：A₁B⊥B₁C； （II）求二面角A₁—B₁C—B的大小。

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一、選擇題:

A卷：CCABD    BDCBB    AA

二、填空題：

(13)        (14)    (15)    (16)

三、解答題：

(17)解：

（Ⅰ）由，得，  ∴

又，即，得……………4分

（Ⅱ）當時，，

得，即，…………………………7分

由知，，

∴，是首項為，公比為的等比數列，

∴  ……………………………………………………10分

(18)解：

由，知，又，由正弦定理，有

，∴，，……3分

∴  ……………6分

         …………9分

∵，，  ∴，

故所求函數為，函數的值域為……………12分

（19）解：

      記顧客購買一件產品，獲一等獎為事件，獲二等獎為事件，不獲獎為事件，則，，

（Ⅰ）該顧客購買2件產品，中獎的概率

  ……………4分

  （Ⅱ）該顧客獲得獎金數不小于100元的可能值為100元，120元，200元，依次記這三個事件為、、，則

        ，………6分

        ，………8分

      ，………10分

    所以該顧客獲得獎金數不小于100元的概率

……12分

（20）解法一：

      （Ⅰ）取中點，連結、，則，

       又， ∴，四邊形是平行四邊形，

       ∴，又，，

       ∴ ……………………………………………………4分

      （Ⅱ）連結

        ∵，  ∴，

       又平面平面，∴

      而，  ∴

     作于，則，且，為的中點。

作于，連結，則，

 于是為二面角的平面角�！�………………………8分

∵，，∴，

在正方形中，作于，則

，

∴，∴。

故二面角的大小為…………………………12分

解法二：如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，使軸，、分別在軸、軸上。

（Ⅰ）由已知，，，，，，，

∴， ，，

∵， ∴，

又，∴   ………………………………………4分

（Ⅱ）設為面的法向量，則，且。

∵，，

∴，取，，，則 ……………8分

又為面的法向量，所以，

因為二面角為銳角，所以其大小為…………………………12分

（21）解：

     （Ⅰ） 

      令，，則………………2分

若，即，則恒有，函數沒有極值點�！�………4分

若，即，或，則有兩個不相等的實根、，且的變化如下：

－

由此，是函數的極大值點，是函數的極小值點。

綜上所述，的取值范圍是…………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，

∴

…………………………10分

令，得（舍去），，

所以，或…………………………12分

（22）解：

（Ⅰ）記

                          ①

                            ②

②，得

，                 ③

由①、③，得，即……3分

由于，，則上面方程可化為

，即，所以，

將代入①式，整理，并注意，得

由于，所以

因此，直線與雙曲線有一個公共點…………………………6分

（注：直線和雙曲線聯立后，利用判斷交點個數也可）

（Ⅱ）雙曲線的漸近線方程為，不妨設點在直線上， 點在直線上。

由，得點坐標為，

由，得點坐標為，…………………………9分

因為，

所以為線段的中點。…………………………12分

（注：若只計算、的橫坐標或縱坐標判斷為線段的中點不扣分）