（2009•金山區二模）（1）設u、v為實數，證明：u²+v²≥

(u+v)2

2

；（2）請先閱讀下列材料，然后根據要求回答問題．
材料：已知△LMN內接于邊長為1的正三角形ABC，求證：△LMN中至少有一邊的長不小于

1

2

．
證明：線段AN、AL、BL、BM、CM、CN的長分別設為a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂，設LN、LM、MN的長為x、y、z，
x²=a₁²+a₂²-2a₁a₂cos60°=a₁²+a₂²-a₁a₂
同理：y²=b₁²+b₂²-b₁b₂，z²=c₁²+c₂²-c₁c₂，
x²+y²+z²=a₁²+a₂²+b₁²+b₂²+c₁²+c₂²-a₁a₂-b₁b₂-c₁c₂
…
請利用（1）的結論，把證明過程補充完整；
（3）已知n邊形A₁′A₂′A₃′…A_n′內接于邊長為1的正n邊形A₁A₂…A_n，（n≥4），思考會有相應的什么結論？請提出一個的命題，并給與正確解答．
注意：第（3）題中所提問題單獨給分，解答也單獨給分．本題按照所提問題的難度分層給分，解答也相應給分，如果同時提出兩個問題，則就高不就低，解答也相同處理．

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（2012•閘北區二模）如圖，在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=2．
（1）求該正四棱錐的體積V；
（2）設E為側棱PB的中點，求異面直線AE與PC所成角θ的大�。�

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（2010•通州區一模）設不等式組

-2≤x≤2 0≤y≤2

確定的平面區域為U，

x-y+2≥0 x+y-2≤0 y≥0

確定的平面區域為V．
（I）定義坐標為整數的點為“整點”．在區域U內任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區域V的概率；
（II）在區域U內任取3個點，記此3個點在區域V的個數為X，求X的概率分布列及其數學期望．

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如圖為河岸一段的示意圖．一游泳者站在河岸的A點處，欲前往對岸的C點處，若河寬BC為100m，A、B相距100m，他希望盡快到達C，準備從A步行到E（E為河岸AB上的點），再從E游到C．已知此人步行速度為v，游泳速度為0.5v．
（1）設∠BEC=θ，試將此人按上述路線從A到C所需時間T表示為θ的函數，并求自變量θ的取值范圍；
（2）當θ為何值時，此人從A經E游到C所需時間T最小，其最小值是多少？

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    例10  為促進個人住房商品化的進程，我國1999年元月公布了個人住房公積金貸款利率和商業性貸款利率如下：

貸款期(年數)

公積金貸款月利率(‰)

商業性貸款月利率(‰)

……

11

12

13

14

15

……

……

4.365

4.455

4.545

4.635

4.725

……

……

5.025

5.025

5.025

5.025

5.025

……

    汪先生家要購買一套商品房，計劃貸款25萬元，其中公積金貸款10萬元，分十二年還清；商業貸款15萬元，分十五年還清．每種貸款分別按月等額還款，問：
    (1)汪先生家每月應還款多少元?
    (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業貸款也一次性還清；那么他家在這個月的還款總數是多少?
    (參考數據：1.004455¹⁴⁴＝1.8966，1.005025¹⁴⁴＝2.0581，1.005025¹⁸⁰＝2.4651)

   講解  設月利率為r，每月還款數為a元，總貸款數為A元，還款期限為n月
　　第1月末欠款數　A(1＋r)－a
　　第2月末欠款數　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)²－a (1＋r)－a
    第3月末欠款數　[A(1＋r)²－a (1＋r)－a](1＋r)－a
　　　　　　　　　　　＝A(1＋r)³－a (1＋r)²－a(1＋r)－a
　　……
　　第n月末欠款數　
    得：                                  

　　對于12年期的10萬元貸款，n＝144，r＝4.455‰
　　∴
　　對于15年期的15萬元貸款，n＝180，r＝5.025‰
　　∴
　　由此可知，汪先生家前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元．
　　(2)至12年末，汪先生家按計劃還款以后還欠商業貸款
　　　
　　其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰  ∴X＝41669.53
    再加上當月的計劃還款數2210.59元，當月共還款43880.12元．   

    需要提及的是，本題的計算如果不許用計算器，就要用到二項展開式進行估算，這在2002年全國高考第（12）題中得到考查.

    例11  醫學上為研究傳染病傳播中病毒細胞的發展規律及其預防，將病毒細胞注入一只小白鼠體內進行實驗，經檢測，病毒細胞的增長數與天數的關系記錄如下表. 已知該種病毒細胞在小白鼠體內的個數超過10⁸的時候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內該病毒細胞的98%．

（1）為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應在何時注射該種藥物？（精確到天）

（2）第二次最遲應在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）