題目列表(包括答案和解析)
數列
，滿足
（1）求
，并猜想通項公式
。
（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想。
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式求解，并用數學歸納法加以證明。第一問利用遞推關系式得到
，
，
，
，并猜想通項公式
第二問中，用數學歸納法證明（1）中的猜想。
①對n=1，等式成立。
②假設n=k
時，
成立，
那么當n=k+1時，
，所以當n=k+1時結論成立可證。
數列，滿足
（1），，，并猜想通項公。 …4分
（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想。①對n=1，等式成立。 …5分
②假設n=k時，成立，
那么當n=k+1時，
，
……9分
所以
所以當n=k+1時結論成立 ……11分
由①②知，猜想對一切自然數n均成立
設函數
．
（I）求
的單調區間；
（II）當0<a<2時，求函數
在區間
上的最小值．
【解析】第一問定義域為真數大于零，得到
．
．
令
，則
，所以
或
，得到結論。
第二問中，
（
）．
．
因為0<a<2，所以
，
．令
可得
．
對參數討論的得到最值。
所以函數
在
上為減函數，在
上為增函數．
（I）定義域為． ………………………1分
．
令，則，所以或． ……………………3分
因為定義域為，所以．
令
，則
，所以
．
因為定義域為，所以
． ………………………5分
所以函數的單調遞增區間為
，
單調遞減區間為
．
………………………7分
（II） （）．
．
因為0<a<2，所以，．令 可得．…………9分
所以函數在上為減函數，在上為增函數．
①當
，即
時，
在區間上，在上為減函數，在
上為增函數．
所以
． ………………………10分
②當
，即
時，在區間
上為減函數．
所以
．
綜上所述，當時，
；
當時，
已知正項數列
的前n項和
滿足：
，
（1）求數列的通項
和前n項和；
（2）求數列
的前n項和
；
（3）證明：不等式 
對任意的
，
都成立．
【解析】第一問中，由于所以
兩式作差
，然后得到
從而
得到結論
第二問中，
利用裂項求和的思想得到結論。
第三問中，
又
結合放縮法得到。
解：（1）∵ ∴
∴
∴
∴ ………2分
又∵正項數列，∴
∴
又n=1時，
∴
∴數列是以1為首項，2為公差的等差數列……………3分
∴
…………………4分
∴
…………………5分
（2）
…………………6分
∴
…………………9分
（3）
…………………12分
又
，
∴不等式 對任意的，都成立．
（本小題滿分9分）以下是用二分法求方程
的一個近似解（精確度為0.1）的不完整的過程，請補充完整。
|
區間 |
中點 |
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區間長度 |
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解：設函數
，其圖象在
上是連續不斷的，且
在上是單調遞______（增或減）。先求
_______，
______，
____________。
所以在區間____________內存在零點
，再填上表：
下結論：_______________________________。
（可參考條件：
，
；符號填＋、－）
已知點
為圓
上的動點，且不在
軸上，
軸，垂足為
，線段
中點
的軌跡為曲線
，過定點
任作一條與
軸不垂直的直線
，它與曲線交于
、
兩點。
（I）求曲線的方程；
（II）試證明：在軸上存在定點
，使得
總能被軸平分
【解析】第一問中設
為曲線上的任意一點，則點
在圓
上，
∴
，曲線的方程為
第二問中，設點的坐標為
，直線的方程為
， ………………3分
代入曲線的方程
，可得 
∵
，∴
確定結論直線與曲線總有兩個公共點．
然后設點,的坐標分別
, 
，則
，
要使被軸平分，只要
得到。
（1）設為曲線上的任意一點，則點在圓上，
∴，曲線的方程為． ………………2分
（2）設點的坐標為，直線的方程為， ………………3分
代入曲線的方程，可得 ，……5分
∵，∴
，
∴直線與曲線總有兩個公共點．（也可根據點M在橢圓的內部得到此結論）
………………6分
設點,的坐標分別, ，則，
要使被軸平分，只要，
………………9分
即
，
， ………………10分
也就是
，
，
即
，即只要
………………12分
當
時，（＊）對任意的s都成立，從而總能被軸平分．
所以在x軸上存在定點
，使得
總能被
軸平分
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