已知函數f（x）=

ax

x+1

（a為非零常數），定義：f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f[f_k（x）]，k∈N^*，例如：f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…
（1）當a=2時，求f2(1)，f3(-

1

7

)的值；
（2）若對于任意x≠-1，等式f₂（x）=x恒成立，求a的值；
（3）當a確定后，f_k（x），k∈N^*的值都由x的值確定．當a=2時，試通過對f_k（x）的探究，寫出一個使得集合{f_k（x）}為有限集的真命題（不必證明）．

探究函數f（x）=x+

4

x

，x∈（0，+∞）的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

請觀察表中值y隨x值變化的特點，完成以下的問題．
函數f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區間（0，2）上遞減；
函數f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區間上遞增．
當x=時，y_最小=．
證明：函數f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區間（0，2）遞減．
思考：（直接回答結果，不需證明）
（1）函數f（x）=x+

4

x

（x＜0）有沒有最值？如果有，請說明是最大值還是最小值，以及取相應最值時x的值．
（2）函數f（x）=ax+

b

x

，（a＜0，b＜0）在區間 和上單調遞增．

通過實驗知道如果物體的初始溫度是θ₁℃，環境溫度是θ₀℃，則經過時間t分鐘后，物體溫度θ將滿足：θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2^-kt
，其中k為正常數．
已知一杯開水（100℃）在室溫為20℃的環境下經過30分鐘后溫度會降至30℃．
（1）若當前室溫為16℃，從冰柜中拿出的溫度為-4℃的冰塊，經過5分鐘之后，能否融化？（即溫度達到0℃以上，參考數據：

2

≈1.414）
（2）在室溫為-4℃的環境下，12℃的水經過多長時間可以結冰？-20℃的冰能否融化？（即變為0℃，請依據本題的原理解釋）
（3）探究：同樣多的一杯開水和一杯冷水一同放進冰箱，哪個先結冰？請猜想答案，有條件的在考后抽空做實驗并上網查閱相關資料．

老師告訴學生小明說，“若O為△ABC所在平面上的任意一點，且有等式

OP

=

OA

+λ(

AB cosC

| AB |

+

AC cosB

| AC |

)，則P點的軌跡必過△ABC的垂心”，小明進一步思考何時P點的軌跡會通過△ABC的外心，得到的條件等式應為

OP

=．（用O，A，B，C四個點所構成的向量和角A，B，C的三角函數以及λ表示）