設函數f(x)的定義域D關于原點對稱，0∈D，且存在常數a>0，使f(a)=1，又，

（1）寫出f(x)的一個函數解析式，并說明其符合題設條件；

（2）判斷并證明函數f(x)的奇偶性；

（3）若存在正常數T，使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)對于x∈D都成立，則都稱f(x)是周期函數，T為周期；試問f(x)是不是周期函數？若是，則求出它的一個周期T；若不是，則說明理由。

已知函數f（x）=，為常數。

（I）當=1時，求f（x）的單調區間；

（II）若函數f（x）在區間[1，2]上為單調函數，求的取值范圍。

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。第一問中，利用當a=1時，f（x）=，則f（x）的定義域是然后求導，，得到由，得0＜x＜1；由，得x＞1；得到單調區間。第二問函數f（x）在區間[1，2]上為單調函數，則或在區間[1，2]上恒成立，即即，或在區間[1，2]上恒成立，解得a的范圍。

（1）當a=1時，f（x）=，則f（x）的定義域是

。

由，得0＜x＜1；由，得x＞1；

∴f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，上是減函數�！�…………6分

（2）。若函數f（x）在區間[1，2]上為單調函數，

則或在區間[1，2]上恒成立�！�，或在區間[1，2]上恒成立。即，或在區間[1，2]上恒成立。

又h（x）=在區間[1，2]上是增函數。h（x）_max=（2）=，h（x）_min=h（1）=3

即，或。    ∴，或。