質量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上．平衡時，彈簧的壓縮量為X₀，如圖所示．物塊從鋼板正對距離為3X₀的A處自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運動，但不粘連，它們到達最低點后又向上運動．已知物體質量也為m時，它們恰能回到O點，求：
（1）物塊與鋼板碰后的速度v；
（2）彈簧被壓縮X₀時的彈性勢能E_p；
（3）若物塊質量為2m，仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到O點時，還具有向上的速度，物塊向上運動到最高點與O點的距離．

如圖所示，傾角為θ的粗糙斜面底端固定一個垂直斜面的彈性擋板P．現使物塊A從擋板處以v₀=2m/s的初速度出發，沿斜面向上運動，經過1s到達最高點，然后下滑，經過2s又回到擋板處．假設物塊與擋板碰撞后能量不損失以原速率反彈．試求：
（1）物塊上滑時加速度大小與下滑時加速度大小之比；
（2）物塊第一次被擋板反彈后，再次滑回到斜面底端所需要的時間；
（3）物塊從出發到最后停止運動所通過的總路程．

如圖所示，一質量為m的小球C用輕繩懸掛在O點．小球下方有一質量為2m的平板車B靜止在光滑水平地面上，小球的位置比車板略高．一質量為m的物塊A以大小為v₀的初速度向左滑上平板車，此時A、C間的距離為d．一段時間后，物塊A與小球C發生碰撞，碰撞時兩者的速度互換，且碰撞時間極短．已知物塊與平板車間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g．
（1）若A碰C之前物塊與平板車已達共同速度，要使碰后小球能繞O點做完整的圓周運動，輕繩的長度l應滿足什么條件？
（2）若A碰C之前物塊與平板車已達共同速度，求d和v₀之間滿足的關系和碰后物塊與平板車最后共同的速度v．
（3）若A碰C之前物塊與平板車未達共同速度，求碰后物塊與平板車最后共同的速度v與v₀和d的關系．

光滑的水平面上固定有左、右兩豎直擋板，擋板間距離足夠長，有一質量為M，長為L的長木板靠在左側擋板處，另有一質量為m的小物塊（可視為質點），放置在長木板的左端，已知小物塊與長木板間的動摩擦因數為μ，且M＞m，現使小物塊和長木板以共同速度v₀向右運動，設長木板與左一右擋板的碰撞中無機械能損失．重力加速度為g．
（1）將要發生第二次碰撞時，小物塊與木板的共同速度多大？
（2）為使小物塊最終不從長木板上落下，板長L應滿足什么條件？
（3）若滿足（2）中條件，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，μ=0.6．計算整個系統在剛要發生第四次碰撞前損失的機械能和此時物塊距離木板最左端的長度．