第十部分 磁場

第一講 基本知識介紹

《磁場》部分在奧賽考剛中的考點很少，和高考要求的區別不是很大，只是在兩處有深化：a、電流的磁場引進定量計算；b、對帶電粒子在復合場中的運動進行了更深入的分析。

一、磁場與安培力

1、磁場

a、永磁體、電流磁場→磁現象的電本質

b、磁感強度、磁通量

c、穩恒電流的磁場

*畢奧-薩伐爾定律（Biot-Savart law）：對于電流強度為I 、長度為dI的導體元段，在距離為r的點激發的“元磁感應強度”為dB 。矢量式d= k，（d表示導體元段的方向沿電流的方向、為導體元段到考查點的方向矢量）；或用大小關系式dB = k結合安培定則尋求方向亦可。其中 k = 1.0×10^?7N/A² 。應用畢薩定律再結合矢量疊加原理，可以求解任何形狀導線在任何位置激發的磁感強度。

畢薩定律應用在“無限長”直導線的結論：B = 2k ；

*畢薩定律應用在環形電流垂直中心軸線上的結論：B = 2πkI ；

*畢薩定律應用在“無限長”螺線管內部的結論：B = 2πknI 。其中n為單位長度螺線管的匝數。

2、安培力

a、對直導體，矢量式為 = I；或表達為大小關系式 F = BILsinθ再結合“左手定則”解決方向問題（θ為B與L的夾角）。

b、彎曲導體的安培力

⑴整體合力

折線導體所受安培力的合力等于連接始末端連線導體（電流不變）的的安培力。

證明：參照圖9-1，令MN段導體的安培力F₁與NO段導體的安培力F₂的合力為F，則F的大小為

F = 

  = BI

  = BI

關于F的方向，由于ΔFF₂P∽ΔMNO，可以證明圖9-1中的兩個灰色三角形相似，這也就證明了F是垂直MO的，再由于ΔPMO是等腰三角形（這個證明很容易），故F在MO上的垂足就是MO的中點了。

證畢。

由于連續彎曲的導體可以看成是無窮多元段直線導體的折合，所以，關于折線導體整體合力的結論也適用于彎曲導體。（說明：這個結論只適用于勻強磁場。）

⑵導體的內張力

彎曲導體在平衡或加速的情形下，均會出現內張力，具體分析時，可將導體在被考查點切斷，再將被切斷的某一部分隔離，列平衡方程或動力學方程求解。

c、勻強磁場對線圈的轉矩

如圖9-2所示，當一個矩形線圈（線圈面積為S、通以恒定電流I）放入勻強磁場中，且磁場B的方向平行線圈平面時，線圈受安培力將轉動（并自動選擇垂直B的中心軸OO′，因為質心無加速度），此瞬時的力矩為

M = BIS

幾種情形的討論——

⑴增加匝數至N ，則 M = NBIS ；

⑵轉軸平移，結論不變（證明從略）；

⑶線圈形狀改變，結論不變（證明從略）；

*⑷磁場平行線圈平面相對原磁場方向旋轉α角，則M = BIScosα ，如圖9-3；

證明：當α = 90°時，顯然M = 0 ，而磁場是可以分解的，只有垂直轉軸的的分量Bcosα才能產生力矩…

⑸磁場B垂直OO′軸相對線圈平面旋轉β角，則M = BIScosβ ，如圖9-4。

證明：當β = 90°時，顯然M = 0 ，而磁場是可以分解的，只有平行線圈平面的的分量Bcosβ才能產生力矩…

說明：在默認的情況下，討論線圈的轉矩時，認為線圈的轉軸垂直磁場。如果沒有人為設定，而是讓安培力自行選定轉軸，這時的力矩稱為力偶矩。

二、洛侖茲力

1、概念與規律

a、 = q，或展開為f = qvBsinθ再結合左、右手定則確定方向（其中θ為與的夾角）。安培力是大量帶電粒子所受洛侖茲力的宏觀體現。

b、能量性質

由于總垂直與確定的平面，故總垂直 ，只能起到改變速度方向的作用。結論：洛侖茲力可對帶電粒子形成沖量，卻不可能做功�；颍郝鍋銎澚�可使帶電粒子的動量發生改變卻不能使其動能發生改變。

問題：安培力可以做功，為什么洛侖茲力不能做功？

解說：應該注意“安培力是大量帶電粒子所受洛侖茲力的宏觀體現”這句話的確切含義——“宏觀體現”和“完全相等”是有區別的。我們可以分兩種情形看這個問題：（1）導體靜止時，所有粒子的洛侖茲力的合力等于安培力（這個證明從略）；（2）導體運動時，粒子參與的是沿導體棒的運動v₁和導體運動v₂的合運動，其合速度為v ，這時的洛侖茲力f垂直v而安培力垂直導體棒，它們是不可能相等的，只能說安培力是洛侖茲力的分力f₁ = qv₁B的合力（見圖9-5）。

很顯然，f₁的合力（安培力）做正功，而f不做功（或者說f₁的正功和f₂的負功的代數和為零）。（事實上，由于電子定向移動速率v₁在10^?5m/s數量級，而v₂一般都在10^?2m/s數量級以上，致使f₁只是f的一個極小分量。）

☆如果從能量的角度看這個問題，當導體棒放在光滑的導軌上時（參看圖9-6），導體棒必獲得動能，這個動能是怎么轉化來的呢？

若先將導體棒卡住，回路中形成穩恒的電流，電流的功轉化為回路的焦耳熱。而將導體棒釋放后，導體棒受安培力加速，將形成感應電動勢（反電動勢）。動力學分析可知，導體棒的最后穩定狀態是勻速運動（感應電動勢等于電源電動勢，回路電流為零）。由于達到穩定速度前的回路電流是逐漸減小的，故在相同時間內發的焦耳熱將比導體棒被卡住時少。所以，導體棒動能的增加是以回路焦耳熱的減少為代價的。

2、僅受洛侖茲力的帶電粒子運動

a、⊥時，勻速圓周運動，半徑r =  ，周期T = 

b、與成一般夾角θ時，做等螺距螺旋運動，半徑r =  ，螺距d = 

這個結論的證明一般是將分解…（過程從略）。

☆但也有一個問題，如果將分解（成垂直速度分量B₂和平行速度分量B₁ ，如圖9-7所示），粒子的運動情形似乎就不一樣了——在垂直B₂的平面內做圓周運動？

其實，在圖9-7中，B₁平行v只是一種暫時的現象，一旦受B₂的洛侖茲力作用，v改變方向后就不再平行B₁了。當B₁施加了洛侖茲力后，粒子的“圓周運動”就無法達成了。（而在分解v的處理中，這種局面是不會出現的。）

3、磁聚焦

a、結構：見圖9-8，K和G分別為陰極和控制極，A為陽極加共軸限制膜片，螺線管提供勻強磁場。

b、原理：由于控制極和共軸膜片的存在，電子進磁場的發散角極小，即速度和磁場的夾角θ極小，各粒子做螺旋運動時可以認為螺距彼此相等（半徑可以不等），故所有粒子會“聚焦”在熒光屏上的P點。

4、回旋加速器

a、結構&原理（注意加速時間應忽略）

b、磁場與交變電場頻率的關系

因回旋周期T和交變電場周期T′必相等，故 =

c、最大速度 v_max = = 2πRf

5、質譜儀

速度選擇器&粒子圓周運動，和高考要求相同。

第二講 典型例題解析

一、磁場與安培力的計算

【例題1】兩根無限長的平行直導線a、b相距40cm，通過電流的大小都是3.0A，方向相反。試求位于兩根導線之間且在兩導線所在平面內的、與a導線相距10cm的P點的磁感強度。

【解說】這是一個關于畢薩定律的簡單應用。解題過程從略。

【答案】大小為8.0×10^?6T ，方向在圖9-9中垂直紙面向外。

【例題2】半徑為R ，通有電流I的圓形線圈，放在磁感強度大小為B 、方向垂直線圈平面的勻強磁場中，求由于安培力而引起的線圈內張力。

【解說】本題有兩種解法。

方法一：隔離一小段弧，對應圓心角θ ，則弧長L = θR 。因為θ →

一個小燈泡的額定電壓為2.0V。額定電流約為0.5A，選用下列實驗器材進行實驗，并利用實驗數據描繪和研究小燈泡的伏安特性曲線．
A.電源E：電動勢為3.0V，內阻不計；
B.電壓表V₁：量程為0~3V，內阻約為1
C.電壓表V₂：量程為0~15V，內阻約為4
D.電流表：量程為0~3A，內阻約為0.1；
E.電流表：量程為0~0.6A，內阻約為0.6；
F.滑動變阻器R₁：最大阻值為l0Ω，額定電流為0.6A；
G.滑動變阻器R₂：最大阻值為l5Ω，額定電流為1.0A；
H.滑動變阻器R₃：最大阻值為l50Ω，額定電流為1.0A；
I.開關S，導線若干．
實驗得到如下數據（I和U分別表示通過小燈泡的電流和加在小燈泡兩端的電壓）：

現有一個阻值為10.0 Ω的定值電阻、一個電鍵、若干根導線和一個電壓表，該電壓表盤面上有刻度但無刻度值，要求設計一個能測量某電源內阻的實驗方案．(已知電壓表內阻很大，電壓表量程大于電源電動勢，電源內阻約為幾歐姆)

(1)在下面的方框中畫出實驗電路圖．

 (2)簡要寫出完成接線后的實驗步驟．

(3)寫出用測得的量計算電源內阻的表達式r＝________.

【解析】：電壓表指針偏轉角度與通過電壓表的電流，或者與加在電壓表兩端的電壓成正比，因此表盤面無刻度值也可以用格數的多少表示電壓的大小，當斷開電鍵時，電壓表偏轉格數N₁表示電源電動勢的大�。�電鍵閉合時，N₂表示R兩端電壓，根據閉合電路歐姆定律，＝，得r＝R.

現有一個阻值為10.0 Ω的定值電阻、一個電鍵、若干根導線和一個電壓表，該電壓表盤面上有刻度但無刻度值，要求設計一個能測量某電源內阻的實驗方案．(已知電壓表內阻很大，電壓表量程大于電源電動勢，電源內阻約為幾歐姆)

(1)在下面的方框中畫出實驗電路圖．

 (2)簡要寫出完成接線后的實驗步驟．

(3)寫出用測得的量計算電源內阻的表達式r＝________.

【解析】：電壓表指針偏轉角度與通過電壓表的電流，或者與加在電壓表兩端的電壓成正比，因此表盤面無刻度值也可以用格數的多少表示電壓的大小，當斷開電鍵時，電壓表偏轉格數N₁表示電源電動勢的大小．電鍵閉合時，N₂表示R兩端電壓，根據閉合電路歐姆定律，＝，得r＝R.

【2012•上海質檢】“熱磁振蕩發電技術”是新能源研究領域的最新方向，當應用于汽車等可移動的動力設備領域時，會成為氫燃料電池的替代方案。它通過對處于磁路中的一段軟磁體迅速加熱并冷卻，使其溫度在其臨界點上下周期性地振蕩，引起磁路線圈中的磁通量周期性地增減，從而感應出連續的交流電。它的技術原理是物理原理。假設兩足夠長的光滑金屬導軌豎直放置，相距為L，如圖6所示，一導線與兩導軌相連，磁感應強度的大小為B的勻強磁場與導軌平面垂直。一電阻為R、質量為m的導體棒在距磁場上邊界h處靜止釋放．導體棒進入磁場后速度減小，最終穩定時離磁場上邊緣的距離為H．整個運動過程中，導體棒與導軌接觸良好，且始終保持水平，不計導軌的電阻。下列說法正確的是（  ）

A．整個運動過程中回路的最大電流為

B．整個運動過程中導體棒產生的焦耳熱為

C．整個運動過程中導體棒克服安培力所做的功為

 D．整個運動過程中回路電流的功率為