甲船由島出發向北偏東的方向作勻速直線航行，速度為海里∕小時，在甲船從島出發的同時，乙船從島正南海里處的島出發，朝北偏東的方向作勻速直線航行，速度為海里∕小時。

⑴求出發小時時兩船相距多少海里？

⑴   兩船出發后多長時間相距最近？最近距離為多少海里？

【解析】第一問中根據時間得到出發小時時兩船相距的海里為

第二問設時間為t，則

利用二次函數求得最值，

解：⑴依題意有：兩船相距

答：出發3小時時兩船相距海里                           

⑵兩船出發后t小時時相距最近，即

即當t=4時兩船最近，最近距離為海里。

 

如圖，，，…，，…是曲線上的點，，，…，，…是軸正半軸上的點，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標原點）．

（1）寫出、和之間的等量關系，以及、和之間的等量關系；

（2）求證：（）；

（3）設，對所有，恒成立，求實數的取值范圍．

【解析】第一問利用有，得到

第二問證明：①當時，可求得，命題成立；②假設當時，命題成立，即有則當時，由歸納假設及，

得

第三問 

．………………………2分

因為函數在區間上單調遞增，所以當時，最大為，即

解：（1）依題意，有，，………………4分

（2）證明：①當時，可求得，命題成立； ……………2分

②假設當時，命題成立，即有，……………………1分

則當時，由歸納假設及，

得．

即

解得（不合題意，舍去）

即當時，命題成立．  …………………………………………4分

綜上所述，對所有，．    ……………………………1分

（3） 

．………………………2分

因為函數在區間上單調遞增，所以當時，最大為，即

．……………2分

由題意，有． 所以，

 

袋子中裝有大小形狀完全相同的m個紅球和n個白球，其中m，n滿足m>n≥2且m+n≤l0（m，n∈N⁺），若從中取出2個球，取出的2個球是同色的概率等于取出的2個球是異色的概率．

(Ⅰ) 求m，n的值；

(Ⅱ) 從袋子中任取3個球，設取到紅球的個數為，求的分布列與數學期望．

【解析】第一問中利用,解得m=6，n=3.

第二問中，的取值為0，1，2，3. P（=0）= ，     P（=1）=

P（=2）= ，   P（=3）=

得到分布列和期望值

解：（I）據題意得到        解得m=6，n=3.

（II）的取值為0，1，2，3.

P（=0）= ，     P（=1）=

P（=2）= ，   P（=3）=

的分布列為

所以E=2

 

某村計劃建造一個室內面積為的矩形蔬菜溫室。在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留寬的通道，沿前側內墻保留寬的空地，當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？

【解析】本試題考查了實際生活中的最值問題的運用，首先確定設矩形溫室的長為xm，則寬為800/xm。

依題意有：種植面積：

運用導數的思想得到最值。

設矩形溫室的長為xm，則寬為800/xm。

依題意有：種植面積：

                 

答：當矩形溫室的長為20m，寬為40m時種植面積最大，最大種植面積是m²

 

在中，已知 ，面積，

（1）求的三邊的長；

（2）設是（含邊界）內的一點，到三邊的距離分別是

①寫出所滿足的等量關系；

②利用線性規劃相關知識求出的取值范圍.

【解析】第一問中利用設中角所對邊分別為

由得

    

又由得即 

又由得即 

又       又得

即的三邊長

第二問中，①得

故

②

令依題意有

作圖，然后結合區域得到最值。