（本題滿分16分）已知數列中,, 為實常數）,前項和恒為正值，且當時,.

⑴ 求證:數列是等比數列；

⑵ 設與的等差中項為,比較與的大��；

⑶ 設是給定的正整數，.現按如下方法構造項數為有窮數列：

當時，；

當時，.

求數列的前項和.

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足 (n∈N^*).

     (Ⅰ)求數列的通項公式，并比較與的大��；

     (Ⅱ)設函數,令,求數列的前n項和T_n

（12分）已知數列，其前n項和，滿足，且
。      
（1）求實數的值；
（2）求數列的通項公式；
（3）設數列的前項和為，試比較與的大�。�

已知函數，，k為非零實數.

（Ⅰ）設t=k²,若函數f(x),g(x)在區間(0,+∞)上單調性相同，求k的取值范圍;

（Ⅱ）是否存在正實數k，都能找到t∈[1,2],使得關于x的方程f(x)=g(x)在[1,5]上有且僅有一個實數根，且在[－5,－1]上至多有一個實數根.若存在，請求出所有k的值的集合；若不存在，請說明理由.

【解析】本試題考查了運用導數來研究函數的單調性，并求解參數的取值范圍。與此同時還能對于方程解的問題，轉化為圖像與圖像的交點問題來長處理的數學思想的運用。

(08年泉州一中適應性練習理)（14分）

數列中，， (為常數，) ，且

（1）求的值；

（2）① 證明：；

② 猜測數列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；

（3）比較與的大小，并加以證明.