已知拋物線D的頂點是橢圓的中心.焦點與該橢圓的右焦點重合. (Ⅰ)求拋物線D的方程, (Ⅱ)已知動直線過點P(4,0),交拋物線D于A.B兩點.坐標原點O為線段PQ中點.求證:,(Ⅲ)是否存在垂直于軸的直線被以AP為直徑的圓所截得的弦長恒為定值?如果存在.求出的方程,如果不存在.說明理由. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

 (本題滿分15分) 已知拋物線C的頂點在原點, 焦點為F(0, 1).

(Ⅰ) 求拋物線C的方程;

(Ⅱ)  在拋物線C上是否存在點P, 使得過點P

的直線交C于另一點Q, 滿足PF⊥QF, 且

PQ與C在點P處的切線垂直?

若存在, 求出點P的坐標; 若不存在,請說明理由.

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 (本題滿分15分) 已知拋物線C的頂點在原點, 焦點為F(0, 1).

(Ⅰ) 求拋物線C的方程;

(Ⅱ)  在拋物線C上是否存在點P, 使得過點P

的直線交C于另一點Q, 滿足PF⊥QF, 且

PQ與C在點P處的切線垂直?

若存在, 求出點P的坐標; 若不存在,請說明理由.

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(本題滿分15分) 已知拋物線C的頂點在原點, 焦點為F(0, 1).

(Ⅰ) 求拋物線C的方程;

(Ⅱ)  在拋物線C上是否存在點P, 使得過點P

的直線交C于另一點Q, 滿足PF⊥QF, 且

PQ與C在點P處的切線垂直?

若存在, 求出點P的坐標; 若不存在,請說明理由.

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(本題滿分15分) 已知拋物線C的頂點在原點, 焦點為F(0, 1).

(Ⅰ) 求拋物線C的方程;

(Ⅱ)  在拋物線C上是否存在點P, 使得過點P

的直線交C于另一點Q, 滿足PF⊥QF, 且

PQ與C在點P處的切線垂直?

若存在, 求出點P的坐標; 若不存在,請說明理由.

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(本題滿分13分)已知拋物線過點。

（1）求拋物線的標準方程，并求其準線方程；

（2）是否存在平行于(為坐標原點）的直線，使得直線與的距離等于?

若存在，求直線的方程，若不存在，說明理由。

（3）過拋物線的焦點作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設與拋物線相交于點，與拋物線相交于點，求的最小值。

 

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一、ACBCD   DDCAB

二、11。       12。12         13。

 14。

 

 15。②③⑤

三、16解：（I）

          。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分

         。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 6分

   （II）

       。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分

       。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. 9分

 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. 12分

       當   。。。。。。。。。。。。。。  13分

 

17解（1）連接B1C，交BC1于點O，則O為B1C的中點，

        ∵D為AC中點    ∴OD∥B1A。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分

        又B1A平面BDC1，OD平面BDC1

         ∴B1A∥平面BDC1   。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

  （2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1

       ∴CC1⊥面ABC   則BC⊥平面AC1，CC1⊥AC

      如圖以C為坐標原點，CA所在直線為X軸，CB所在直線為Y軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系 則C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0) 。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分

 ∴設平面的法向量為  由得

，取，  則。。。。。。。。。10分

 又平面BDC的法向量為。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 11分

       cos

∴二面角C1―BD―C的余弦值為。。。。。。。。。13分

 

18解：（I）設周五有語文、數學、外語三科作業分別為事件A1、A2、A3周五沒有語文、數學、外語三科作業為事件A，則由已知表格得

、、。。。。。。。。。。。。2分

。。。。。。。。。。4分

（II）設一周內有數學作業的天數為，則

      

      

      

      

      

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

  所以隨機變量的概率分布列如下：

0

1

2

3

4

5

P

   故 。。。。。。。。。。13分

 

19解:(Ⅰ)由題意,可設拋物線方程為.

由,得.拋物線的焦點為,.

拋物線D的方程為.  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

(Ⅱ)設A由于O為PQ之中點,故當軸時由拋物線的對稱性知 。。。。。。。。。。。。。。。。。。

當不垂直軸時,設:,

由,

,,

                …

                                         

(Ⅲ)設存在直線滿足題意,則圓心,過M作直線的垂線,

垂足為E, 設直線與圓交于點，可得,

即  =

=

==                   

當時,,此時直線被以AP為直徑的圓截得的弦長恒為定值.…12分

因此存在直線滿足題意.                                  ……13分

 

 

20解：(Ⅰ) ，

． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

當時，． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

當時，，此時函數遞減； 

當時，，此時函數遞增；

∴當時，取極小值，其極小值為． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函數和的圖像在處有公共點，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

設隔離直線的斜率為，則直線方程為，

即     ．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

由，可得當時恒成立．

， 由，得．。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

下面證明當時恒成立．

令，則

，  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

當時，．

  當時，，此時函數遞增；

當時，，此時函數遞減；

∴  當時，取極大值，也是最大值，其最大值為．   

 

從而，即恒成立．。。。。。。。13分             

∴  函數和存在唯一的隔離直線．。。。。。。。。。。。。。。。14分

解法二： 由(Ⅰ)可知當時， (當且當時取等號) ．。。。。。7分

若存在和的隔離直線，則存在實常數和，使得

和恒成立，

令，則且

，即． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

后面解題步驟同解法一．

 

21（！）解：PQ＝6ec8aac122bd4f6e，

       PQ矩陣表示的變換T：6ec8aac122bd4f6e滿足條件

         6ec8aac122bd4f6e.　　 所以6ec8aac122bd4f6e。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）

直線6ec8aac122bd4f6e任取點6ec8aac122bd4f6e，則點6ec8aac122bd4f6e在直線6ec8aac122bd4f6e上，

故6ec8aac122bd4f6e，又6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e　  所以6ec8aac122bd4f6e　。。。。。（7分）

(2) （Ⅰ）曲線C的極坐標方程是化為直角坐標方程為:

    直線的直角坐標方程為：。。。。。。。。。3分

（Ⅱ）（法一）由（1）知：圓心的坐標為（2，0），圓的半徑R=2，

圓心到直線l的距離

 

或    。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

 

 

（法二）把（是參數）代入方程,

得,

.

     

或  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

 

(3) 解:（Ⅰ）

 

函數如圖所示。。。。。。。。。。。。。3分

 

（Ⅱ）由題設知：

如圖，在同一坐標系中作出函數的圖象

（如圖所示） 又解集為.

    由題設知，當或時，且即

由得： 。。。。。。。。。。。。。。。。7分

 

 

 


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