已知函數數列{a_n}滿足a_n=f（n）（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設x軸、直線x=a與函數y=f（x）的圖象所圍成的封閉圖形的面積為S（a）（a≥0），求S（n）-S（n-1）（n∈N^*）；
（3）在集合M={N|N=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整數N，使得不等式a_n-1005＞S（n）-S（n-1）對一切n＞N恒成立？若存在，則這樣的正整數N共有多少個？并求出滿足條件的最小的正整數N；若不存在，請說明理由．

已知命題：
①已知正項等比數列{a_n}中，不等式a_n+1+a_n-1≥2a_n（n≥2，n∈N^*）一定成立；
②若F（n）=（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）（n∈N^*），則F（1）=2，F（2）=24；
③已知數列{a_n}中，a_n=n²+λn+1（λ∈R）．若λ＞-3，則恒有a_n+1＞a_n（n∈N^*）；
④公差小于零的等差數列{a_n}的前n項和為S_n．若S₂₀=S₄₀，則S₃₀為數列{S_n}的最大項；以上四個命題正確的是    （填入相應序號）

已知函數f（x）= （x∈R）），給出下列命題：
（1）對?∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
（2）函數f（x）的值域為（-1，1）；
（3）若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）函數g（x）=f（x）-x在R上有三個零點．
其中正確命題的序號為    （把所有正確命題的序號都填上）．