6．已知正數x.y滿足等式x+y-2xy+4＝0.則A．xy的最大值是2.且x+y的最小值為4 B．xy的最小值是4.且x+y的最大值為4C．xy的最大值是2.且x+y的最大值為4 D．xy的最小值是4.且x+y的最小值為4 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知數列{an}的前n項和為Sn，點(n，)在直線y＝x＋上；數列{bn}滿足bn+2－2bn+1－bn＝0(n∈N*)，且b3＝11，它的前9項和為153．

(1)求數列{an}、{bn}的通項公式；

(2)設cn＝，數列{cn}的前n項和為Tn，求使不等式Tn＞對一切n∈N*都成立的最大正整數k的值；

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若實數x、y、m滿足|x－m|＞|y－m|，則稱x比y遠離m．

(1)若x2－1比1遠離0，求x的取值范圍；

(2)對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a3＋b3比a2b＋ab2遠離2ab；

(3)已知函數f(x)的定義域．任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中遠離0的那個值.寫出函數f(x)的解析式，并指出它的基本性質(結論不要求證明)．

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若實數x、y、m滿足|x－m|＜|y－m|，則稱x比y接近m．

(1)若x2－1比3接近0，求x的取值范圍；

(2)對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab；

(3)已知函數f(x)的定義域D＝{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1＋sinx和1－sinx中接近0的那個值．寫出函數f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性(結論不要求證明)．

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已知函數f(t)對任意實數x、y都有：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋3xy(x＋y＋2)＋3，且f(1)＝1．

(1)求f(0)、f(－1)、f(2)的值；

(2)若t為正整數，求f(t)的表達式．

(3)滿足條件f(t)＝t的所有整數t能否構成等差數列？若能構成等差數列，求出此數列；若不能構成等差數列，請說明理由．

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已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c的圖像的頂點坐標是(，－)，且f(3)＝2

(Ⅰ)求y＝f(x)的表達式，并求出f(1)，f(2)的值；

(Ⅱ)數列{an}，{bn}，若對任意的實數x都滿足g(x)·f(x)＋anx＋bn＝xn+1，n∈N*，其中g(x)是定義在實數R上的一個函數，求數列{an}、{bn}的通項公式；

(Ⅲ)設圓Cn：(x－an)2＋(y－bn)2＝，若圓Cn與圓Cn+1外切，{rn}是各項都是正數的等比數列，記Sn是前n個圓的面積之和，求．(n∈N*)

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一、選擇題

1．B　　2．A　　3．C　　4．B　　5．B　　6．D　　7．C　　8．C　　9．D　　10．A

二、填空題

11．　　12．　　13．－6　　14．；　　15．①②③④

三、解答題

16．解：⑴＝＝＝

＝                                                                                                                  3分

＝＝1＋1＋2cos2x＝2＋2cos2x＝4cos2x

∵x∈[0，]　　∴cosx≥0

∴＝2cosx                                                                                                     6分

⑵ f (x)＝cos2x－?2cosx?sinx＝cos2x－sin2x

      ＝2cos(2x＋)                                                                                            8分

∵0≤x≤　　∴  ∴　　∴

∴，當x＝時取得該最小值

　，當x＝0時取得該最大值                                                                    12分

17．由題意知，在甲盒中放一球概率為時，在乙盒放一球的概率為                  2分

①當n＝3時，x＝3，y＝0的概率為                                                 4分

②當n＝4時，x＋y＝4，又|x－y|＝ξ，所以ξ的可能取值為0，2，4

(i)當ξ＝0時，有x＝2，y＝2，它的概率為                                      4分

(ii)當ξ＝2時，有x＝3，y＝1或x＝1，y＝3

   它的概率為

(iii)當ξ＝4時，有x＝4，y＝0或x＝0，y＝4

   它的概率為

故ξ的分布列為

ξ

0

2

4

10分

p

∴ξ的數學期望Eξ＝                                                             12分

18．解：⑴證明：在正方形ABCD中，AB⊥BC

又∵PB⊥BC  ∴BC⊥面PAB  ∴BC⊥PA

同理CD⊥PA  ∴PA⊥面ABCD　　　　4分

⑵在AD上取一點O使AO=AD，連接E，O，

則EO∥PA，∴EO⊥面ABCD　過點O做

OH⊥AC交AC于H點，連接EH，則EH⊥AC，

從而∠EHO為二面角E－AC－D的平面角                                                             6分

在△PAD中，EO＝AP＝在△AHO中∠HAO＝45°，

∴HO＝AOsin45°=，∴tan∠EHO＝，

∴二面角E－AC－D等于arctan                                                                    8分

⑶當F為BC中點時，PF∥面EAC，理由如下：

∵AD∥2FC，∴，又由已知有，∴PF∥ES

∵PF面EAC，EC面EAC　　∴PF∥面EAC，

即當F為BC中點時，PF∥面EAC                                                                         12分

19．⑴據題意，得                                                4分

                                                                          5分

⑵由⑴得：當5＜x＜7時，y＝39(2x3－39x2＋252x－535)

當5＜x＜6時，y'＞0，y＝f (x)為增函數

當6＜x＜7時，y'＜0，y＝f (x)為減函數

∴當x＝6時，f (x)極大值＝f (16)＝195                                                                      8分

當7≤x＜8時，y＝6(33－x)∈(150，156]

當x≥8時，y＝－10(x－9)2＋160

當x＝9時，y極大＝160                                                                                           10分

綜上知：當x＝6時，總利潤最大，最大值為195                                                     12分

20．⑴設M(x0，y0)，則N(x0，－y0)，P(x，y)

(x0≠－1且x0≠3)

BN：y＝　　�、�

聯立①②　　∴                                                                                        4分

∵點M(xo，yo)在圓⊙O上，代入圓的方程：

整理：y2＝－2(x＋1)  (x＜－1)                                                                             6分

⑵由

設S(x1、y1)，T(x2、y2)，ST的中點坐標(x0、y0)

則x1＋x2＝－(3＋)

x1x2＝                                                                                                           8分

∴

中點到直線的距離

∴

故圓與x＝－總相切．                                                                                         13分

⑵另解：∵y2＝－2(x＋1)知焦點坐標為(－，0)                                                   2分

頂點(－1，0)，故準線x＝－                                                                               4分

設S、T到準線的距離為d1，d2，ST的中點O'，O'到x＝－的距離為

又由拋物線定義：d1＋d2＝|ST|，∴

故以ST為直徑的圓與x＝－總相切                                                                      8分

21．解：⑴由，得

令，有

∴

    ＝

    ＝

又b1＝2a1＝2，                                                                               3分

∴

∴                                                                                    4分

⑵證法1：(數學歸納法)

1°，當n＝1時，a1＝1，滿足不等式                                                    5分

2°，假設n＝k(k≥1，k∈N*)時結論成立

即，那么

即                                                                                                       7分

又

由1°，2°可知，n∈N*，都有成立                                                           9分

⑵證法2：由⑴知：　　　　　　　　　　　　　　　　(可參照給分)

∵，，∴

∵  ∵

∴  ∴

當n＝1時，，綜上

⑵證法3：

∴{an}為遞減數列

當n＝1時，an取最大值　　∴an≤1

由⑴中知　　

綜上可知

⑶

欲證：即證                                                                             11分

即ln(1＋Tn)－Tn＜0，構造函數f (x)＝ln(1＋x)－x

∵當x＞0時，f ' (x)＜0

∴函數y＝f (x)在(0，＋∞)內遞減

∴f (x)在[0，＋∞)內的最大值為f (0)＝0

∴當x≥0時，ln(1＋x)－x≤0

又∵Tn＞0，∴ln(1＋Tn)－Tn＜0

∴不等式成立                                                                                           14分

 

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