已知函數

（Ⅰ）若函數f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍；

（Ⅱ）令g（x）= f（x）－x²，是否存在實數a，當x∈（0，e](e是自然常數)時，函數g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）當x∈（0，e]時，證明：

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。第一問中利用函數f（x）在[1，2]上是減函數，的導函數恒小于等于零，然后分離參數求解得到a的取值范圍。第二問中，

假設存在實數a，使有最小值3，利用，對a分類討論，進行求解得到a的值。

第三問中，

因為，這樣利用單調性證明得到不等式成立。

解：(Ⅰ)

(Ⅱ) 

（Ⅲ）見解析

 

已知函數 R)．

（Ⅰ）若 ，求曲線  在點  處的的切線方程；

（Ⅱ）若  對任意  恒成立，求實數a的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。

第一問中，利用當時，．

因為切點為（）， 則，                 

所以在點（）處的曲線的切線方程為：

第二問中，由題意得，即即可。

Ⅰ）當時，．

，                                  

因為切點為（）， 則，                  

所以在點（）處的曲線的切線方程為：．    ……5分

（Ⅱ）解法一：由題意得，即．      ……9分

（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）

，           

因為，所以恒成立，

故在上單調遞增，                            ……12分

要使恒成立，則，解得．……15分

解法二：                 ……7分

      （1）當時，在上恒成立，

故在上單調遞增，

即．                  ……10分

（2）當時，令，對稱軸，

則在上單調遞增，又    

① 當，即時，在上恒成立，

所以在單調遞增，

即，不合題意，舍去  

②當時，， 不合題意，舍去 14分

綜上所述： 

 

已知常數、都是實數，在數列與中．對任何正整數，等式，都成立。

   （Ⅰ）當時，求數列與的通項公式；

   （Ⅱ）當且時，要使數列是公比不為1等比數列，求的值；

   （Ⅲ）當時，設數列的前項和、的前項和分別為與，

求的值．

已知常數、都是實數，在數列與中．對任何正整數，等式，都成立。

   （Ⅰ）當時，求數列與的通項公式；

   （Ⅱ）當且時，要使數列是公比不為1等比數列，求的值；

   （Ⅲ）當時，設數列的前項和、的前項和分別為與，

求的值．

已知函數，函數的圖象與的圖象關于點中心對稱。

（1）求函數的解析式；

（2）如果，，試求出使成立的取值范圍；

（3）是否存在區間，使對于區間內的任意實數，只要，且時，都有恒成立？