題目列表(包括答案和解析)
已知函數的圖象過坐標原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
(Ⅰ)求實數的值;
(Ⅱ)求在區間
上的最大值;
(Ⅲ)對任意給定的正實數,曲線
上是否存在兩點P、Q,使得
是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在
軸上?說明理由.
【解析】第一問當時,
,則
。
依題意得:,即
解得
第二問當時,
,令
得
,結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定,得到極值和最值
第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在
軸兩側。
不妨設,則
,顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
(Ⅰ)當時,
,則
。
依題意得:,即
解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當時,
,令
得
當變化時,
的變化情況如下表:
|
|
0 |
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
極小值 |
單調遞增 |
極大值 |
|
又,
,
。∴
在
上的最大值為2.
②當時,
.當
時,
,
最大值為0;
當時,
在
上單調遞增!
在
最大值為
。
綜上,當時,即
時,
在區間
上的最大值為2;
當時,即
時,
在區間
上的最大值為
。
(Ⅲ)假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在
軸兩側。
不妨設,則
,顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
若,則
代入(*)式得:
即,而此方程無解,因此
。此時
,
代入(*)式得: 即
(**)
令
,則
∴在
上單調遞增, ∵
∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對任意給定的正實數,曲線
上存在兩點P、Q,使得
是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在
軸上
4 |
x |
x | … | -0.5 | -1 | -1.5 | -1.7 | -1.9 | -2 | -2.1 | -2.2 | -2.3 | -3 | … |
y | … | -8.5 | -5 | -4.17 | -4.05 | -4.005 | -4 | -4.005 | -4.02 | -4.04 | -4.3 | … |
4 |
x |
4 |
x |
4 |
x |
. | x |
4x |
x2+a |
x | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.5 | 0.8 | 1 | 1.2 | 1.5 | 1.8 | 2 | 4 | 6 | … |
y | 0 | 0.396 | 0.769 | 1.6 | 1.951 | 2 | 1.967 | 1.846 | 1.698 | 1.6 | 0.941 | 0.649 | … |
4x |
x2+a |
3 |
2 |
2 |
x |
x | … | 0.25 | 0.5 | 0.75 | 1 | 1.1 | 1.2 | 1.5 | 2 | 3 | 5 | … |
y | … | 8.063 | 4.25 | 3.229 | 3 | 3.028 | 3.081 | 3.583 | 5 | 9.667 | 25.4 | … |
2 |
x |
2 |
x |
2 |
3|x| |
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com