令得列表如下(略) 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

(Ⅰ)求實數的值; 

(Ⅱ)求在區間上的最大值;

(Ⅲ)對任意給定的正實數,曲線上是否存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?說明理由.

【解析】第一問當時,,則。

依題意得:,即    解得

第二問當時,,令,結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定,得到極值和最值

第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設,則,顯然

是以O為直角頂點的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

(Ⅰ)當時,,則。

依題意得:,即    解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

①當時,,令

變化時,的變化情況如下表:

0

0

+

0

單調遞減

極小值

單調遞增

極大值

單調遞減

,,。∴上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0;

時, 上單調遞增!最大值為。

綜上,當時,即時,在區間上的最大值為2;

時,即時,在區間上的最大值為。

(Ⅲ)假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設,則,顯然

是以O為直角頂點的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;

若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

,則代入(*)式得:

,而此方程無解,因此。此時

代入(*)式得:    即   (**)

 ,則

上單調遞增,  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。

因此,對任意給定的正實數,曲線上存在兩點P、Q,使得是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上

 

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探究函數f(x)=x+
4
x
,x∈(-∞,0)
的最大值,并確定取得最大值時x的值.列表如下:
x -0.5 -1 -1.5 -1.7 -1.9 -2 -2.1 -2.2 -2.3 -3
y -8.5 -5 -4.17 -4.05 -4.005 -4 -4.005 -4.02 -4.04 -4.3
請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.
(1)函數f(x)=x+
4
x
,x∈(-∞,0)
在區間
 
上為單調遞增函數.當x=
 
時,f(x)最大=
 

(2)證明:函數f(x)=x+
4
x
在區間(-2,0)為單調遞減函數.
(3)思考:函數f(x)=x+
4
x
(x>0)
有最大值或最小值嗎?如有,是多少?此時x為何值?(直接回答結果,不需證明).

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(2013•鄭州二模)每年的三月十二日,是中國的植樹節,林管部門在植樹前,為保證樹苗的質量,都會在植樹前對樹苗進行檢測.現從甲、乙兩批樹苗中各抽測了10株樹苗的高度,規定高于128厘米的為“良種樹苗”,測得高度如下(單位:厘米)
甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133
乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146
(Ⅰ)根據抽測結果,完成答題卷中的莖葉圖,并根據你填寫的莖葉圖,對甲、乙兩批樹苗的高度作比較,寫出對兩種樹苗高度的統計結論;
(Ⅱ)設抽測的10株甲種樹苗高度平均值為
.
x
,將這10株樹苗的高度依次輸入按程序框圖進行運算,
(如圖)問輸出的S大小為多少?并說明S的統計學意義.

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已知函數f(x)=
4x
x2+a
.請完成以下任務:
(Ⅰ)探究a=1時,函數f(x)在區間[0,+∞)上的最大值.為此,我們列表如下
x 0 0.1 0.2 0.5 0.8 1 1.2 1.5 1.8 2 4 6
y 0 0.396 0.769 1.6 1.951 2 1.967 1.846 1.698 1.6 0.941 0.649
請觀察表中y值隨x值變化的特點,解答以下兩個問題.
(1)寫出函數f(x),在[0,+∞)上的單調區間;指出在各個區間上的單調性,并對其中一個區間的單調性用定義加以證明.
(2)請回答:當x取何值時f(x)取得最大值,f(x)的最大值是多少?
(Ⅱ)按以下兩個步驟研究a=1時,函數f(x)=
4x
x2+a
,(x∈R)
的值域.
(1)判斷函數f(x)的奇偶性;
(2)結合已知和以上研究,畫出函數f(x)的大致圖象,指出函數的值域.
(Ⅲ)己知a=-1,f(x)的定義域為(-1,1),解不等式f(4-3x)+f(x-
3
2
)>0

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探究函數f(x)=x2+
2
x
(x>0)
的最小值,并確定取得最小值時x的值.列表如下,請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.
x 0.25 0.5 0.75 1 1.1 1.2 1.5 2 3 5
y 8.063 4.25 3.229 3 3.028 3.081 3.583 5 9.667 25.4
已知:函數f(x)=x2+
2
x
(x>0)
在區間(0,1)上遞減,問:
(1)函數f(x)=x2+
2
x
(x>0)
在區間
[1,+∞)
[1,+∞)
上遞增.當x=
1
1
時,y最小=
3
3
;
(2)函數g(x)=9x2+
2
3|x|
在定義域內有最大值或最小值嗎?如有,是多少?此時x為何值?(直接回答結果,不需證明)

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