題目列表(包括答案和解析)
已知函數 R).
(Ⅰ)若 ,求曲線
在點
處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對任意
恒成立,求實數a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。
第一問中,利用當時,
.
因為切點為(
),
則
,
所以在點()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即
即可。
Ⅰ)當時,
.
,
因為切點為(),
則
,
所以在點()處的曲線的切線方程為:
. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即
. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因為,所以
恒成立,
故在
上單調遞增,
……12分
要使恒成立,則
,解得
.……15分
解法二:
……7分
(1)當時,
在
上恒成立,
故在
上單調遞增,
即
.
……10分
(2)當時,令
,對稱軸
,
則在
上單調遞增,又
① 當,即
時,
在
上恒成立,
所以在
單調遞增,
即
,不合題意,舍去
②當時,
,
不合題意,舍去 14分
綜上所述:
(本題滿分12分)探究函數,
的最小值,并確定取得最小值時
的值,列表如下:
|
… |
0.5 |
1 |
1.5 |
1.7 |
1.9 |
2 |
2.1 |
2.2 |
2.3 |
3 |
4 |
5 |
7 |
… |
|
… |
8.5 |
5 |
4.17 |
4.05 |
4.005 |
4 |
4.005 |
4.102 |
4.24 |
4.3 |
5 |
5.8 |
7.57 |
… |
請觀察表中值隨
值變化的特點,完成下列問題:
(1) 當時,
在區間
上遞減,在區間 上遞增;
所以,=
時,
取到最小值為
;
(2) 由此可推斷,當時,
有最
值為 ,此時
=
;
(3) 證明: 函數在區間
上遞減;
(4) 若方程在
內有兩個不相等的實數根,求實數
的取值范圍。
(本題滿分12分)探究函數,
的最小值,并確定取得最小值時
的值,列表如下:
| … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.102 | 4.24 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
請觀察表中值隨
值變化的特點,完成下列問題:
(1) 當時,
在區間
上遞減,在區間 上遞增;
所以,= 時,
取到最小值為 ;
(2) 由此可推斷,當時,
有最 值為 ,此時
= ;
(3) 證明: 函數在區間
上遞減;
(4) 若方程在
內有兩個不相等的實數根,求實數
的取值范圍。
設函數.
(I)求的單調區間;
(II)當0<a<2時,求函數在區間
上的最小值.
【解析】第一問定義域為真數大于零,得到.
.
令,則
,所以
或
,得到結論。
第二問中, (
).
.
因為0<a<2,所以,
.令
可得
.
對參數討論的得到最值。
所以函數在
上為減函數,在
上為增函數.
(I)定義域為. ………………………1分
.
令,則
,所以
或
. ……………………3分
因為定義域為,所以
.
令,則
,所以
.
因為定義域為,所以
. ………………………5分
所以函數的單調遞增區間為,
單調遞減區間為.
………………………7分
(II) (
).
.
因為0<a<2,所以,
.令
可得
.…………9分
所以函數在
上為減函數,在
上為增函數.
①當,即
時,
在區間上,
在
上為減函數,在
上為增函數.
所以. ………………………10分
②當,即
時,
在區間
上為減函數.
所以.
綜上所述,當時,
;
當時,
(本題滿分12分)
某桶裝水經營部每天的房租,人員工資等固定成本為200元,每桶水的進價是5元。銷售單價與日均銷售的關系如下表所示
銷售單價(元) |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
日均銷售量(桶) |
480 |
440 |
400 |
360 |
320 |
280 |
240 |
設在進價基礎上增加x元后,日均銷售利潤為y元。
(1)寫出日均銷售量P與x的函數關系式,標出定義域;
(2)請根據以上數據作出分析:這個經營部怎樣定價才能獲得最大利潤?
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