令.得:(kZ) ------10分 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知向量,且,A為銳角,求:

(1)角A的大小;

(2)求函數的單調遞增區間和值域.

【解析】第一問中利用,解得   又A為銳角                 

      

第二問中,

 解得單調遞增區間為

解:(1)        ……………………3分

   又A為銳角                 

                              ……………………5分

(2)

                                                  ……………………8分

  由 解得單調遞增區間為

                                                  ……………………10分

 

 

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我們給出如下定義:對函數y=f(x),x∈D,若存在常數C(C∈R),對任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
f(x1)+f(x2)
2
=C
,則稱函數f(x)為“和諧函數”,稱常數C為函數f(x)的“和諧數”.
(1)判斷函數f(x)=x+1,x∈[-1,3]是否為“和諧函數”?答:
.(填“是”或“否”)如果是,寫出它的一個“和諧數”:
2
2

(2)請先學習下面的證明方法:
證明:函數g(x)=lgx,x∈[10,100]為“和諧函數”,
3
2
是其“和諧數”.
證明過程如下:對任意x1∈[10,100],令
g(x1)+g(x2)
2
=
3
2
,即
lgx1+lgx2
2
=
3
2

x2=
1000
x1
.∵x1∈[10,100],∴x2=
1000
x1
∈[10,100]
.即對任意x1∈[10,100],存在唯一的x2=
1000
x1
∈[10,100]
,使得
g(x)+g(x2)
2
=
3
2
.∴g(x)=lgx為“和諧函數”,
3
2
是其“和諧數”.
參照上述證明過程證明:函數h(x)=2x,x∈(1,3)為“和諧函數”;
(3)寫出一個不是“和諧函數”的函數,并作出證明.

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把函數的圖象按向量平移得到函數的圖象. 

(1)求函數的解析式; (2)若,證明:.

【解析】本試題主要考查了函數 平抑變換和運用函數思想證明不等式。第一問中,利用設上任意一點為(x,y)則平移前對應點是(x+1,y-2)代入 ,便可以得到結論。第二問中,令,然后求導,利用最小值大于零得到。

(1)解:設上任意一點為(x,y)則平移前對應點是(x+1,y-2)代入 得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以.……4分

(2) 證明:令,……6分

……8分

,∴,∴上單調遞增.……10分

,即

 

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(本題滿分10分)

某次象棋比賽的決賽在甲乙兩名棋手之間進行,比賽采用積分制,比賽規則規定贏一局得2分,平一局得1分,輸一局得0分, 根據以往經驗,每局甲贏的概率為,乙贏的概率為,且每局比賽輸贏互不影響.若甲第局的得分記為,令

(Ⅰ)求的概率;

(Ⅱ)若=S,求的分布列及數學期望.

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設函數

(I)求的單調區間;

(II)當0<a<2時,求函數在區間上的最小值.

【解析】第一問定義域為真數大于零,得到.                            

,則,所以,得到結論。

第二問中, ().

.                          

因為0<a<2,所以,.令 可得

對參數討論的得到最值。

所以函數上為減函數,在上為增函數.

(I)定義域為.           ………………………1分

.                            

,則,所以.  ……………………3分          

因為定義域為,所以.                            

,則,所以

因為定義域為,所以.          ………………………5分

所以函數的單調遞增區間為,

單調遞減區間為.                         ………………………7分

(II) ().

.                          

因為0<a<2,所以.令 可得.…………9分

所以函數上為減函數,在上為增函數.

①當,即時,            

在區間上,上為減函數,在上為增函數.

所以.         ………………………10分  

②當,即時,在區間上為減函數.

所以.               

綜上所述,當時,;

時,

 

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