題目列表(包括答案和解析)
已知函數在
處取得極值2.
⑴ 求函數的解析式;
⑵ 若函數在區間
上是單調函數,求實數m的取值范圍;
【解析】第一問中利用導數
又f(x)在x=1處取得極值2,所以,
所以
第二問中,
因為,又f(x)的定義域是R,所以由
,得-1<x<1,所以f(x)在[-1,1]上單調遞增,在
上單調遞減,當f(x)在區間(m,2m+1)上單調遞增,則有
,得
解:⑴ 求導,又f(x)在x=1處取得極值2,所以
,即
,所以
…………6分
⑵ 因為,又f(x)的定義域是R,所以由
,得-1<x<1,所以f(x)在[-1,1]上單調遞增,在
上單調遞減,當f(x)在區間(m,2m+1)上單調遞增,則有
,得
, …………9分
當f(x)在區間(m,2m+1)上單調遞減,則有
得
…………12分
.綜上所述,當時,f(x)在(m,2m+1)上單調遞增,當
時,f(x)在(m,2m+1)上單調遞減;則實數m的取值范圍是
或
已知函數 R).
(Ⅰ)若 ,求曲線
在點
處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對任意
恒成立,求實數a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。
第一問中,利用當時,
.
因為切點為(
),
則
,
所以在點()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即
即可。
Ⅰ)當時,
.
,
因為切點為(),
則
,
所以在點()處的曲線的切線方程為:
. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即
. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因為,所以
恒成立,
故在
上單調遞增,
……12分
要使恒成立,則
,解得
.……15分
解法二:
……7分
(1)當時,
在
上恒成立,
故在
上單調遞增,
即
.
……10分
(2)當時,令
,對稱軸
,
則在
上單調遞增,又
① 當,即
時,
在
上恒成立,
所以在
單調遞增,
即
,不合題意,舍去
②當時,
,
不合題意,舍去 14分
綜上所述:
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