設f（x）是定義在[a，b]上的函數，用分點T：a=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…x_n=b將區間[a，b]任意劃分成n個小區間，如果存在一個常數M＞0，使得和

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|≤M（i=1，2，…，n）恒成立，則稱f（x）為[a，b]上的有界變差函數．
（1）函數f（x）=x²在[0，1]上是否為有界變差函數？請說明理由；
（2）設函數f（x）是[a，b]上的單調遞減函數，證明：f（x）為[a，b]上的有界變差函數；
（3）若定義在[a，b]上的函數f（x）滿足：存在常數k，使得對于任意的x₁、x₂∈[a，b]時，|f（x₁）-f（x₂）|≤k•|x₁-x₂|．證明：f（x）為[a，b]上的有界變差函數．

已知函數f（x）定義在區間（-1，1）上，f（

1

2

）=-1，且當x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），又數列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+ a 2 n

，設b_n=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+…+

1

f(an)

．
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數；
（2）求f（a_n）的表達式；
（3）是否存在正整數m，使得對任意n∈N，都有b_n＜

m-8

4

成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

已知函數f（x）定義在區間（-1，1）上，f(

1

2

)=-1，對任意x、y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)成立，又數列a_n滿足a1=

1

2

，an+1=

2an

1+an 2

，
設bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

．
（1）在（-1，1）內求一個實數t，使得f(t)=2f(

1

2

)；
（2）證明數列f（a_n）是等比數列，并求f（a_n）的表達式和

lim

n→∞

bn的值；
（3）設cn=

n

2

bn+2，是否存在m∈N⁺，使得對任意n∈N⁺，cn＜

6

7

log

2 2

m-

18

7

log2m 恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

已知f₁（x）=|3^x-1|，f₂（x）=|a•3^x-9|（a＞0），x∈R，且．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當2≤a＜9時，設f（x）=f₂（x）所對應的自變量取值區間的長度為l（閉區間[m，n]的長度定義為n-m），試求l的最大值；
（Ⅲ）是否存在這樣的a，使得當x∈[2，+∞）時，f（x）=f₂（x）？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．