(理)設是區間D上的任意兩點.若函數滿足成立.則稱函數在區間D上下凸. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

設x1、x2是區間D上的任意兩點,若函數y=f(x)滿足f(成立,則稱函數y=f(x)在區間D上下凸.

(1)證明函數f(x)=x+在區間(0,+∞)上下凸.

(2)若函數y=f(x)在區間D上下凸,則對任意的x1,x2,…,xn∈D 有.試根據下凸倒數的這一性質,證明若x1,x2,…,xn∈(0,+∞),則(x1+x2+…+xn)≥n2.

(文)已知Sn是等比數列{an}的前n項和,且a3,a9,a6成等差數列,問:S3,S9,S6是否成等差數列?

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設F1、F2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,l為左準線,A1、A2分別為其長軸的左、右端點.

(1)若橢圓上的點M(1,)到F1、F2的距離之和為4,求橢圓方程;

(2)有一個猜想:“設P(x1,y1)、Q(x2,y2)(y1y2≠0)是橢圓C上的任意兩點,若P、F1、Q三點共線,則直線PA1、QA2、l共點.”你認為這個猜想能成立嗎?請說明理由.

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若定義在區間D上的函數y=f(x)對于區間D上的任意兩個值x1、x2總有以下不等式
f(x1)+f(x2)
2
≤f(
x1+x2
2
)成立,則稱函數y=f(x)為區間D上的凸函數.
(1)證明:定義在R上的二次函數f(x)=ax2+bx+c(a<0)是凸函數;
(2)設f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0),并且x∈[0,1]時,f(x)≤1恒成立,求實數a的取值范圍,并判斷函數
f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0)能否成為R上的凸函數;
(3)定義在整數集Z上的函數f(x)滿足:①對任意的x,y∈Z,f(x+y)=f(x)f(y);②f(0)≠0,f(1)=2.
試求f(x)的解析式;并判斷所求的函數f(x)是不是R上的凸函數說明理由.

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對于函數f(x),如果存在函數g(x)=ax+b(a,b為常數),使得對于區間D上的任意實數x都有f(x)≤g(x)成立,則稱g(x)為函數f(x)區間D上的一個“覆蓋函數”.設f(x)=-2xlnx-x2,g(x)=-ax+3.若g(x)為函數f(x)在區間(0,+∞)上的一個“覆蓋函數”,則實數a的取值范圍是( 。

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若函數f(x)對任意的實數x1,x2∈D,均有|f(x2)-f(x1)|≤|x2-x1|,則稱函數f(x)是區間D上的“平緩函數”,
(1)判斷g(x)=sinx和h(x)=x2-x是不是實數集R上的“平緩函數”,并說明理由;
(2)若數列{xn}對所有的正整數n都有 |xn+1-xn|≤
1
(2n+1)2
,設yn=sinxn,求證:|yn+1-y1|<
1
4

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