在“猜數字”的游戲中，主持人在1～127中確定一個數字作為目標數字，記在心里，讓小光來猜，如果沒有猜對，主持人會告訴小光，他猜的數字比目標數字大還是小，再讓他猜，直到猜出目標數字為止．小光決定每次選擇數字范圍中最中間的數來猜目標數字，因為這樣能最有效地縮小范圍．
（1）如果主持人確定的目標數字是48，小光需要經過幾次猜測，才能正確猜出目標數字？
（2）如果主持人等可能地在1～127中隨機確定一個數字作為目標數字，小光平均要經過幾次猜測才能正確猜出目標數字？

已知f（x）=a²x-

1

2

x³，x∈（-2，2）為正常數．
（1）可以證明：定理“若a、b∈R^*，則

a+b

2

≥

ab

（當且僅當a=b時取等號）”推廣到三個正數時結論是正確的，試寫出推廣后的結論（無需證明）；
（2）若f（x）＞0在（0，2）上恒成立，且函數f（x）的最大值大于1，求實數a的取值范圍，并由此猜測y=f（x）的單調性（無需證明）；
（3）對滿足（2）的條件的一個常數a，設x=x₁時，f（x）取得最大值．試構造一個定義在D={x|x＞-2，且x≠4k-2，k∈N}上的函數g（x），使當x∈（-2，2）時，g（x）=f（x），當x∈D時，g（x）取得最大值的自變量的值構成以x₁為首項的等差數列．

數列{a_n}的前n項和記為S_n，已知a₁=1，n•a_n+1=（n+2）S_n（n=1，2，3…）．
（1）證明數列{

Sn

n

}是公比為2的等比數列；
（2）求S_n關于n的表達式．
（3）請猜測是否存在自然數N₀，對于所有的n＞N₀有S_n＞2007恒成立，并證明．