在平面直角坐標系xoy 中，點M 到兩定點F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離之和為4，設點M 的軌跡是曲線C．
（1）求曲線C 的方程；   
（2）若直線l：y=kx+m 與曲線C 相交于不同兩點A、B （A、B 不是曲線C 和坐標軸的交點），以AB 為直徑的圓過點D（2，0），試判斷直線l 是否經過一定點，若是，求出定點坐標；若不是，說明理由．

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，連接橢圓C的四個頂點得到的四邊形的面積為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點A，B，且△ABO的面積最大？若存在，求出點M的坐標及相對應的△ABO的面積；若不存在，請說明理由．

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，離心率為

1

2

，右準線為l：x=4．M為橢圓上不同于A，B的一點，直線AM與直線l交于點P．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若

AM

=

MP

，判斷點B是否在以PM為直徑的圓上，并說明理由；
（3）連接PB并延長交橢圓C于點N，若直線MN垂直于x軸，求點M的坐標．

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2

2

的圓C經過坐標原點O．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在直線l：x-y-m=0與圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點恰在拋物線x²=4y上，若l存在，請求出m的值，若l不存在，請說明理由．

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C經過點A（4，0）和點B（6，2），且圓C總被直線x+2y-6=0平分其面積，過點P（0，2）且斜率為k的直線與圓C相交于不同的兩點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在常數k，使得向量

OM

+

ON

與

PC

共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．