題目列表(包括答案和解析)
| 分組 | [70，80） | [80，90） | [90，100） | [100，110） |
| 頻數 | 3 | 4 | 8 | 15 |
| 分組 | [110，120） | [120，130） | [130，140） | [140，150] |
| 頻數 | 15 | x | 3 | 2 |
| 分組 | [70，80） | [80，90） | [90，100） | [100，110） |
| 頻數 | 1 | 2 | 8 | 9 |
| 分組 | [110，120） | [120，130） | [130，140） | [140，150] |
| 頻數 | 10 | 10 | y | 3 |
| 甲校 | 乙校 | 總計 | |
| 優秀 | |||
| 非優秀 | |||
| 總計 |
| n(ad-bc)2 |
| (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) |
| P（K≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.010 |
| k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
甲、乙兩所學校高三年級分別有1200人，1000人，為了了解兩所學校全體高三年級學生在該地區六校聯考的數學成績情況，采用分層抽樣方法從兩所學校一共抽取了110名學生的數學成績，并作出了頻數分布統計表如下：
甲校：
乙校：
(1)計算
，
的值；
(2)若規定考試成績在[120,150]內為優秀，請分別估計兩所學校數學成績的優秀率；
(3)由以上統計數據填寫下面2×2列聯表，并判斷是否有90%的把握認為兩所學校的數學成績有差異.
|
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甲校 |
乙校 |
總計 |
|
優秀 |
|
|
|
|
非優秀 |
|
|
|
|
總計 |
|
|
|
參考數據與公式：
由列聯表中數據計算
臨界值表
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|
0.10 |
0.05 |
0.010 |
（08年安徽皖南八校聯考）(本小題滿分13分)
袋中有紅球和黃球若干個，從中任摸一球，摸得紅球的概率為
，摸得黃球的概率為
．若從中任摸一球，放回再摸，第
次摸得紅球，則記
＝1，摸得黃球，則記＝一1．令
…
．
（1）當==
時，記
，求
的分布列及數學期望；
（2)當＝
，＝
時，求
且
（
＝1，2，3，4）的概率．
（本小題滿分12分）甲乙兩個學校高三年級分別有1200人，1000人，為了了解兩個學校全體高三年級學生在該地區六校聯考的數學成績情況，采用分層抽樣方法從兩個學校一共抽取了110名學生的數學成績，并作出了頻數分布統計表如下：
|
分組 |
[70,80） |
[80,90） |
[90,100） |
[100,110） |
|
頻數 |
3 |
4 |
8 |
15 |
|
分組 |
[110,120） |
[120,130） |
[130,140） |
[140,150] |
|
頻數 |
15 |
x |
3 |
2 |
甲校：
|
分組 |
[70,80） |
[80,90） |
[90,100） |
[100,110） |
|
頻數 |
1 |
2 |
8 |
9 |
|
分組 |
[110,120） |
[120,130） |
[130,140） |
[140,150] |
|
頻數 |
10 |
10 |
y |
3 |
乙校：
（Ⅰ）計算x，y的值。
（Ⅱ）若規定考試成績在[120,150]內為優秀，請分別估計兩個學校數學成績的優秀率。
|
|
甲校 |
乙校 |
總計 |
|
優秀 |
|
|
|
|
非優秀 |
|
|
|
|
總計 |
|
|
|
（Ⅲ）由以上統計數據填寫右面2×2列聯表，并判斷是否有90%的把握認為兩個學校的數學成績有差異。
參考數據與公式：
由列聯表中數據計算
臨界值表
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解答
D
D
A
B
D
C
C
B
D
D
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分
11． 負
12． 
13． 7 14． 
15． 4010
16． 
17．若他不放棄這5道題，則這5道題得分的期望為：
三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
18．解：（Ⅰ）①，②，③，④處的數值分別為：3，0.025，0.100，１．…………4分
（Ⅱ）
…………………………………………………………………………8分
（Ⅲ）（?）120分及以上的學生數為：（0.275+0.100+0.050）×5000=2125;
（?）平均分為:
（?）成績落在［126，150］中的概率為:
…………………………………………………………………………14分
19．解：(Ⅰ) 由三視圖可知，四棱錐
的底面是邊長為1的正方形，
側棱
底面
，且
.
∴
，
即四棱錐的體積為
.
………………………………4分
(Ⅱ) 不論點
在何位置，都有
.
證明如下：連結
，∵是正方形，∴
.
∵底面，且
平面，∴
.
又∵
，∴
平面
.
∵不論點在何位置，都有
平面.
∴不論點在何位置，都有. ………………………………8分
(Ⅲ) 解法1：在平面
內過點
作
于
，連結
.
∵
，
，
，
∴Rt△
≌Rt△
，
從而△
≌△
，∴
.
∴
為二面角
的平面角.
在Rt△中，
，
又
，在△
中，由余弦定理得
，
∴
，即二面角的大小為
. …………………14分
解法2：如圖，以點
為原點，
所在的直線分別為
軸建立空間直角
坐標系. 則
，從而
，
，
，
.
設平面和平面的法向量分別為
，
，
由
，取
.
由
，取
.
設二面角的平面角為
，
則
，
∴
，即二面角的大小為
. …………………14分
20．解：（Ⅰ）令
①
令
�、�
由①、②知，
，又
是
上的單調函數，
． ………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）
，
．
，
…………………………………………………………………10分
（Ⅲ）令
，則
……………………12分
對
都成立
…………………………………………………………………………………15分
21．解：（Ⅰ）設B（
,
）,C(
,
),BC中點為(
),F(2,0).
則有
.
兩式作差有
.
設直線BC的斜率為
,則有
. (1)
因F2(2,0)為三角形重心，所以由
，得
由
得
，
代入（1）得
.
直線BC的方程為
.
…………………………………………7分
(Ⅱ)由AB⊥AC,得
（2）
設直線BC方程為
，得
，
代入（2）式得,
，
解得
或
故直線
過定點（0，
． …………………………………………14分
22．解：（Ⅰ）
.
當
時，
．從而有
．…………………5分
（Ⅱ）設P
，切線
的傾斜角分別為
，斜率分別為
．則
．
由切線與
軸圍成一個等腰三角形，且均為正數知，該三角形為鈍角三角形，
或 
．又
．從而，
．
…………………………………………………………………………………10分
（Ⅲ）令
；
．
．
又
．
．
當
時，即
時，曲線
與曲線
無公共點，故方程
無實數根；
當
時，即
時，曲線與曲線有且僅有1個公共點，故方程有且僅有1個實數根；
當
時，即
時，曲線與曲線有2個交點，故方程有2個實數根．
…………………………………………………………………15分
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