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題目列表(包括答案和解析)

（本題15分）如圖，橢圓長軸端點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點,且，．（1）求橢圓的標準方程；（2）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由.

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（本題15分） 已知橢圓的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為，直線交橢圓于不同的兩點，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若，且，求的值（點為坐標原點）；

（Ⅲ）若坐標原點到直線的距離為，求面積的最大值．

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（本題15分）已知橢圓的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為，直線交橢圓于不同的兩點，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若，且，求的值（點為坐標原點）；

（Ⅲ）若坐標原點到直線的距離為，求面積的最大值．

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（本題15分）設函數.

 (Ⅰ)求函數的單調區間；

(Ⅱ)當時,是否存在整數，使不等式恒成立？若存在，求整數的值；若不存在，請說明理由。

(Ⅲ)關于的方程在上恰有兩個相異實根,求實數的取值范圍。

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（本題15分）某租賃公司擁有汽車100輛．當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出．若每輛車的月租金每增加50元，未租出的車將會增加一輛．租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元．

（１）當每輛車的月租金定為3600元時,能租出多少輛車?（２）當每輛車的月租金定為多少元時, 租賃公司的月收益最大，最大月收益是多少?

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

解答

D

D

A

B

D

C

C

B

D

D

二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分

11．   負                                        12．　　　　　　　    　

13．    7                                        14．                     　      

15．   4010                                    16．                         

17．若他不放棄這5道題，則這5道題得分的期望為：                                                                           

三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

18．解：（Ⅰ）①，②，③，④處的數值分別為：3，0.025，0.100，１．…………4分

（Ⅱ）

            …………………………………………………………………………8分

（Ⅲ）（?）120分及以上的學生數為：（0.275+0.100+0.050）×5000=2125;

（?）平均分為:

（?）成績落在［126，150］中的概率為:

…………………………………………………………………………14分

19．解：(Ⅰ) 由三視圖可知，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，

側棱底面，且.                           

∴，

即四棱錐的體積為.             ………………………………4分

(Ⅱ) 不論點在何位置，都有.                            

證明如下：連結，∵是正方形，∴.          

∵底面，且平面，∴.        

又∵，∴平面.                        

∵不論點在何位置，都有平面. 

∴不論點在何位置，都有.        ………………………………8分

(Ⅲ) 解法1：在平面內過點作于，連結.

∵，，，

∴Rt△≌Rt△，

從而△≌△，∴.

∴為二面角的平面角.                           

在Rt△中，，

又，在△中，由余弦定理得

，             

∴，即二面角的大小為.  …………………14分

 

解法2：如圖，以點為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角

坐標系. 則，從而

，，，.

設平面和平面的法向量分別為

，，

由，取.   

由，取. 

設二面角的平面角為，

則，       

  ∴，即二面角的大小為.    …………………14分

20．解：（Ⅰ）令①

令�、�

由①、②知，，又是上的單調函數，

．　　　　　………………………………………………………………………4分

（Ⅱ），

．

，

     …………………………………………………………………10分

（Ⅲ）令，則

         ……………………12分

對都成立

　　

        …………………………………………………………………………………15分

21．解：（Ⅰ）設B（,）,C(,),BC中點為(),F(2,0).

則有.

兩式作差有

.

設直線BC的斜率為,則有

.  (1)

因F2(2,0)為三角形重心，所以由，得

由得，

代入（1）得.

直線BC的方程為.      …………………………………………7分

 (Ⅱ)由AB⊥AC,得  （2）

設直線BC方程為，得

，

 

代入（2）式得,，

解得或

故直線過定點（0，．        …………………………………………14分

22．解：（Ⅰ）

.

當時，

．從而有．…………………5分

（Ⅱ）設P，切線的傾斜角分別為，斜率分別為．則

．

由切線與軸圍成一個等腰三角形，且均為正數知，該三角形為鈍角三角形，

　或   ．又

．從而，．

…………………………………………………………………………………10分

（Ⅲ）令

；

．

．

又．

．

當時，即時，曲線與曲線無公共點，故方程無實數根；

當時，即時，曲線與曲線有且僅有1個公共點，故方程有且僅有1個實數根；

當時，即時，曲線與曲線有2個交點，故方程有2個實數根．         …………………………………………………………………15分

 

 

 


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