題目列表(包括答案和解析)
數列
的前
項組成集合
，從集合
中任取
個數，其所有可能的
個數的乘積的和為
（若只取一個數，規定乘積為此數本身），記
．例如：當
時，
，
，
；當
時，
，
，
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）猜想
，并用數學歸納法證明．
數列
的前
項組成集合
，從集合
中任取
個數，其所有可能的
個數的乘積的和為
（若只取一個數，規定乘積為此數本身），記
．例如：當
時，
，
，
；當
時，
，
，
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）猜想
，并用數學歸納法證明．
設數列
的前
項和為
，對任意的正整數，都有
成立，記
.（1）（1）求數列與數列
的通項公式；
（2）設數列的前項和為
，是否存在正整數，使得
成立？若存在，找出一個正整數；若不存在，請說明理由．
（3）記
，設數列
的前項和為
，求證：對于
都有
數列
的前
項組成集合
，從集合
中任取
個數，其所有可能的
個數的乘積的和為
（若只取一個數，規定乘積為此數本身），記
．例如：當
時，
，
，
；當
時，
，
，
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）猜想
，并用數學歸納法證明．
數列
的前
項組成集合
，從集合
中任取
個數，其所有可能的
個數的乘積的和為
（若只取一個數，規定乘積為此數本身），記
．例如：當
時，
，
，
；當
時，
，
，
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）猜想
，并用數學歸納法證明．
一、選擇題
1．Ｃ 2．Ｄ 3．Ｂ 4．Ｂ 5．Ｃ 6．Ｄ 7． B 8．Ｃ 9．Ｄ 10．Ｂ11．Ａ 12．Ｂ
二、填空題
13．
14．－
15．[-1,2] 16．①④
三、解答題
17．解：（Ⅰ）由
，
，得
．
∴
．
于是
．
（Ⅱ）由
，得
．
又∵
，
∴
．
由
，得
∴
．
18．（Ⅰ）證明：在直四棱柱
中，
連結
，
，
四邊形
是正方形．
．
又
，
，
平面，
平面，
．
平面
，
且
，
平面，
又
平面，
．
（Ⅱ）連結
，連結
，
設
，
，連結
，
平面
平面
，
要使
平面
，
須使
，
又
是的中點．
是的中點．
又易知
，
．
即
是
的中點．
綜上所述，當是的中點時，可使平面．
19．解：（Ⅰ）
更 愛 好 體 育
更 愛 好 文 娛
合 計
男 生
15
10
25
女 生
5
10
15
合 計
20
20
40
…………………………………5分
（Ⅱ）恰好是一男一女的概率是：
（Ⅲ）
而
∴有85％的把握可以認為性別與是否更喜歡體育有關系。
20．解：（Ⅰ）設等比數列
的公比為
由
，得
，從而
，
，
．
因為
成等差數列，所以
，
即
，
．
所以
．故
．
（Ⅱ）
21．解：（Ⅰ）
，由已知
，
即
解得
，
，
，
．
（Ⅱ）令
，即
，
，
或
．
又在區間
上恒成立，
．
22．解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為
，依題意
，所求橢圓方程為
．
（Ⅱ）設
，
．
（1）當
軸時，
．
（2）當
與
軸不垂直時，
設直線的方程為
．
由已知
，得
．
把代入橢圓方程，整理得
，
，
．
．
當且僅當
，即
時等號成立．當
時，，
綜上所述
．
當
最大時，
面積取最大值
．
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