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某學校為了研究學情，從高三年級中抽取了20名學生三次測試的數學成績和物理成績，計算出了他們三次成績的平均名次如下表：

學生序號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
數    學	1.3	12.3	25.7	36.7	50.3	67.7	49.0	52.0	40.0	34.3
物    理	2.3	9.7	31.0	22.3	40.0	58.0	39.0	60.7	63.3	42.7
學生序號	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
數    學	78.3	50.0	65.7	66.3	68.0	95.0	90.7	87.7	103.7	86.7
物    理	49.7	46.7	83.3	59.7	50.0	101.3	76.7	86.0	99.7	99.0

學校規定平均名次小于或等于40.0者為優秀，大于40.0者為不優秀．
（1）對名次優秀者賦分2，對名次不優秀者賦分1，從這20名學生中隨機抽取2名，用ξ表示這兩名學生數學科得分的和，求ξ的分布列和數學期望；
（2）根據這次抽查數據，是否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為物理成績優秀與否和數學成績優秀與否有關系？（下面的臨界值表和公式可供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=，其中n=a+b+c+d）

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某學校為了研究學情，從高三年級中抽取了20名學生三次測試的數學成績和物理成績，計算出了他們三次成績的平均名次如下表：

學生序號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
數    學	1.3	12.3	25.7	36.7	50.3	67.7	49.0	52.0	40.0	34.3
物    理	2.3	9.7	31.0	22.3	40.0	58.0	39.0	60.7	63.3	42.7
學生序號	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
數    學	78.3	50.0	65.7	66.3	68.0	95.0	90.7	87.7	103.7	86.7
物    理	49.7	46.7	83.3	59.7	50.0	101.3	76.7	86.0	99.7	99.0

學校規定平均名次小于或等于40.0者為優秀，大于40.0者為不優秀．
（1）對名次優秀者賦分2，對名次不優秀者賦分1，從這20名學生中隨機抽取2名，用ξ表示這兩名學生數學科得分的和，求ξ的分布列和數學期望；
（2）根據這次抽查數據，是否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為物理成績優秀與否和數學成績優秀與否有關系？（下面的臨界值表和公式可供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=，其中n=a+b+c+d）

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某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓（稱為B類工人）．現用分層抽樣方法（按A類，B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調查他們的生產能力（生產能力指一天加工的零件數）．
（Ⅰ）A類工人中和B類工人各抽查多少工人？
（Ⅱ）從A類工人中抽查結果和從B類工人中的抽查結果分別如下表1和表2
表1：

生產能力分組	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數	4	8	x	5	3

表2：

生產能力分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數	6	y	36	18

先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖．就生產能力而言，A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更��？（不用計算，可通過觀察直方圖直接回答結論）

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一、選擇題（每小題5分，滿分60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B

B

C

D

A

C

A

B

A

C

A

D

二、填空題（每小題4分，滿分16分）

13．        14．         15．100          16．③④

三、解答題（第17、18、19、20、21題各12分，第22題14分，共74分）

17．（I）

   （Ⅱ）

            函數的值域為

18．解：（I）記“甲回答對這道題”、“乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件

、、，則，且有即

（Ⅱ）的可能取值：0，1，2，3

0

1

2

3

19．（I）設是的中點，連結，

則四邊形為方形，，故，

即

又

平面

   （Ⅱ）由（I）知平面，

又平面，，

取的中點，連結又，

則，取的中點，連結則

為二面角的平面角

連結，在中，，

取的中點，連結，，在中，

二面角的余弦值為

法二：

（I）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則

又因為

所以，平面

   （Ⅱ）設為平面的一個法向量。

由得

取，則又，

設為平面的一個法向量，由，，

得取取

設與的夾角為，二面角為，顯然為銳角，

，即為所求

20．解：（I）定義域為

        時，時，

        故的單調遞增區間是，單調遞減區間是

（Ⅱ） 即： 令 

      所以

      在單調遞減，在上單調遞增

      在上有兩個相異實根

21．解：（I）由題意知：

              橢圓的方程為

（Ⅱ）設

      切線的方程為：

      又由于點在上，則

             同理：

      則直線的方程：    則直線過定點（1，0）

（Ⅲ）就是A到直線PQ的距離d的

        取得等號

     的最小值是

22．解：（I）

（Ⅱ）原式兩邊取倒樹，則

     上式兩邊取對數，則

解得

（Ⅲ）

由題中不等式解得，對于任意正整數均成立

注意到，構造函數

則設函數

由對成立，得為上的減函數，

所以即對成立，因此為上的減函數，

即，故